espacio puntiagudo

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En matemáticas , un espacio puntiagudo o espacio basado es un espacio topológico con un punto distinguido, el punto base . El punto distinguido es simplemente un punto en particular, seleccionado del espacio y al que se le da un nombre, tal que permanece sin cambios durante la discusión posterior y se realiza un seguimiento durante todas las operaciones.${\ estilo de visualización x_ {0},}$

Los mapas de espacios apuntados ( mapas basados ) son mapas continuos que conservan puntos base, es decir, un mapa entre un espacio apuntado con punto base y un espacio apuntado con punto base es un mapa basado si es continuo con respecto a las topologías de y y si Esto suele ser denotado${\ estilo de visualización f}$${\ estilo de visualización X}$${\ estilo de visualización x_ {0}}$${\ estilo de visualización Y}$${\displaystyle y_{0}}$${\ estilo de visualización X}$${\ estilo de visualización Y}$${\ estilo de visualización f \ izquierda (x_ {0} \ derecha) = y_ {0}.}$

Los espacios puntiagudos son importantes en la topología algebraica , particularmente en la teoría de la homotopía , donde muchas construcciones, como el grupo fundamental , dependen de la elección del punto base.

Los espacios puntiagudos a menudo se toman como un caso especial de la topología relativa , donde el subconjunto es un solo punto. Por lo tanto, gran parte de la teoría de la homotopía generalmente se desarrolla en espacios puntiagudos y luego se traslada a topologías relativas en topología algebraica .

La clase de todos los espacios puntiagudos forma una categoría Top con punto base conservando los mapas continuos como morfismos . Otra forma de pensar en esta categoría es como la categoría de coma , ( Top ) donde es cualquier espacio de un punto y Top es la categoría de espacios topológicos . (Esto también se denomina categoría coslice denotada Top ). Los objetos en esta categoría son mapas continuos . Se puede pensar que tales morfismos seleccionan un punto base en Morphisms in Top ) son morfismos en Top para los cuales el siguiente diagrama_{${\ estilo de visualización \ bala}$}${\ estilo de visualización \ {\ bala \} \ flecha abajo}$ ${\ estilo de visualización \ {\ bala \}}$${\displaystyle \{\bullet \}/}$${\displaystyle \{\bullet \}\a X.}$${\ estilo de visualización X.}$${\ estilo de visualización \ {\ bala \} \ flecha abajo}$ conmuta :

Es fácil ver que la conmutatividad del diagrama es equivalente a la condición que conserva los puntos base.${\ estilo de visualización f}$

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