En matemáticas , una categoría de coma (un caso especial es una categoría de sector ) es una construcción en la teoría de categorías . Proporciona otra forma de ver los morfismos : en lugar de simplemente relacionar objetos de una categoría entre sí, los morfismos se convierten en objetos por derecho propio. Esta noción fue introducida en 1963 por FW Lawvere (Lawvere, 1963 p. 36), aunque la técnica no [ cita requerida ] llegó a ser generalmente conocida hasta muchos años después. Varios conceptos matemáticos pueden tratarse como categorías de coma. Las categorías de coma también garantizan la existencia de algunos límites ycolimits . El nombre proviene de la notación utilizada originalmente por Lawvere, que incluía el signo de puntuación de coma . El nombre persiste a pesar de que la notación estándar ha cambiado, ya que el uso de una coma como operador es potencialmente confuso, e incluso a Lawvere le disgusta el término poco informativo "categoría de coma" (Lawvere, 1963 p. 13).
Definición
La construcción de categoría de coma más general involucra dos functores con el mismo codominio. A menudo, uno de estos tendrá el dominio 1 (la categoría de un morfismo de un objeto). Algunas explicaciones de la teoría de categorías consideran solo estos casos especiales, pero el término categoría de coma es en realidad mucho más general.
Forma general
Suponer que , , y son categorías, y y (para fuente y destino) son functors :
Podemos formar la categoría de coma como sigue:
- Los objetos son todos triples con un objeto en , un objeto en , y un morfismo en .
- Los morfismos de a son todos pares dónde y son morfismos en y respectivamente, de modo que el siguiente diagrama conmuta :
Los morfismos se componen tomando ser - estar , siempre que se defina la última expresión. El morfismo identitario en un objeto es .
Categoría de rebanada
El primer caso especial ocurre cuando , el functor es el funtor de identidad , y (la categoría con un objeto y un morfismo). Luego por algún objeto en .
En este caso, la categoría de coma se escribe , y a menudo se denomina categoría de sector sobreo la categoría de objetos sobre. Los objetos se puede simplificar a pares , dónde . Algunas veces, se denota por . Un morfismo de a en la categoría de corte se puede simplificar a una flecha haciendo el siguiente diagrama de conmutación:
Categoría de cóslice
El concepto dual de una categoría de rebanada es una categoría de cóslice. Aquí,, tiene dominio y es un functor de identidad.
En este caso, la categoría de coma se escribe a menudo , dónde es el objeto de seleccionado por . Se llama la categoría de cóslice con respecto a, o la categoría de objetos bajo. Los objetos son pares con . Dado y , un morfismo en la categoría de cóslice es un mapa haciendo el siguiente diagrama de conmutación:
Categoría de flecha
y son los factores de identidad en (entonces ).
En este caso, la categoría de coma es la categoría de flecha . Sus objetos son los morfismos de, y sus morfismos son cuadrados de conmutación en . [1]
Otras variaciones
En el caso de la categoría de corte o coslice, el funtor de identidad puede reemplazarse por algún otro funtor; esto produce una familia de categorías particularmente útil en el estudio de functores adjuntos . Por ejemplo, sies el functor olvidadizo mapeando un grupo abeliano a su conjunto subyacente , yes un conjunto fijo (considerado como un functor de 1 ), luego la categoría de coma tiene objetos que son mapas de a un conjunto subyacente a un grupo. Esto se relaciona con el adjunto izquierdo de, que es el funtor que asigna un conjunto al grupo abeliano libre que tiene ese conjunto como base. En particular, el objeto inicial de es la inyección canónica , dónde es el grupo gratuito generado por .
Un objeto de se llama morfismo de a o un -flecha estructurada con dominio . [1] Un objeto dese llama morfismo de a o un -Flecha estructurada con codominio . [1]
Otro caso especial ocurre cuando ambos y son functores con dominio . Si y , luego la categoría de coma , escrito , es la categoría discreta cuyos objetos son morfismos de a .
Una categoría de inserción es una subcategoría (no completa) de la categoría de coma donde y son requeridos. La categoría de coma también se puede ver como el insertador de y , dónde y ¿Son los dos functores de proyección fuera de la categoría de producto? .
Propiedades
Para cada categoría de coma hay functores olvidadizos de ella.
- Funtor de dominio, , que mapas:
- objetos: ;
- morfismos: ;
- Functor de codominio, , que mapas:
- objetos: ;
- morfismos: .
- Funtor de flecha, , que mapas:
- objetos: ;
- morfismos: ;
Ejemplos de uso
Algunas categorías notables
Varias categorías interesantes tienen una definición natural en términos de categorías de coma.
- La categoría de conjuntos puntiagudos es una categoría de coma, con siendo (un funtor que selecciona) cualquier conjunto singleton , y(el funtor de identidad de) la categoría de conjuntos . Cada objeto de esta categoría es un conjunto, junto con una función que selecciona algún elemento del conjunto: el "punto base". Los morfismos son funciones en conjuntos que asignan puntos base a puntos base. De manera similar, se puede formar la categoría de espacios puntiagudos .
- La categoría de álgebras asociativas sobre un anillo. es la categoría de cóslice , ya que cualquier homomorfismo de anillo induce un asociativo -estructura de álgebra en , y viceversa. Los morfismos son entonces mapas que hacen que el diagrama se mueva.
- La categoría de gráficos es, con el functor tomando un set a . Los objetos luego consta de dos conjuntos y una función; es un conjunto de indexación, es un conjunto de nodos, y elige pares de elementos de para cada entrada de . Es decir, selecciona ciertos bordes del conjunto de posibles aristas. Un morfismo en esta categoría se compone de dos funciones, una en el conjunto de indexación y otra en el conjunto de nodos. Deben "estar de acuerdo" de acuerdo con la definición general anterior, lo que significa que debe satisfacer . En otras palabras, el borde correspondiente a un determinado elemento del conjunto de indexación, cuando se traduce, debe ser el mismo que el borde del índice traducido.
- Muchas operaciones de "aumento" o "etiquetado" se pueden expresar en términos de categorías de coma. Dejar ser el funtor que lleva cada gráfico al conjunto de sus aristas, y deja ser (un functor que selecciona) algún conjunto particular: entonces es la categoría de gráficos cuyos bordes están etiquetados por elementos de . Esta forma de categoría de coma a menudo se llama objetos.-encima - estrechamente relacionado con los "objetos sobre "discutido anteriormente. Aquí, cada objeto toma la forma , dónde es un gráfico y una función de los bordes de a . Los nodos del gráfico podrían etiquetarse esencialmente de la misma manera.
- Se dice que una categoría es localmente cartesiana cerrada si cada porción de ella es cartesiana cerrada (ver más arriba la noción de rebanada ). Las categorías cerradas cartesianas locales son las categorías de clasificación de las teorías de tipos dependientes .
Límites y morfismos universales
Los límites y colimits en las categorías de comas se pueden "heredar". Si y están completos ,es un functor continuo , y es otro functor (no necesariamente continuo), entonces la categoría de coma producido está completo, [2] y los functores de proyección y son continuos. Del mismo modo, si y son cocompletos, y es cocontinuo , entonces es cocompleto, y los functores de proyección son cocontinuos.
Por ejemplo, observe que en la construcción anterior de la categoría de gráficos como una categoría de coma, la categoría de conjuntos es completa y cocompleta, y el funtor de identidad es continuo y cocontinuo. Por tanto, la categoría de gráficos es completa y cocompleta.
La noción de un morfismo universal a un colimit particular, o desde un límite, puede expresarse en términos de una categoría de coma. Esencialmente, creamos una categoría cuyos objetos son conos, y donde el cono límite es un objeto terminal ; entonces, cada morfismo universal para el límite es solo el morfismo del objeto terminal. Esto funciona en el caso dual, con una categoría de cocones que tienen un objeto inicial. Por ejemplo, deja ser una categoría con el functor tomando cada objeto a y cada flecha a . Un morfismo universal de a consiste, por definición, en un objeto y morfismo con la propiedad universal de que para cualquier morfismo hay un morfismo único con . En otras palabras, es un objeto en la categoría de coma.tener un morfismo a cualquier otro objeto en esa categoría; es inicial. Esto sirve para definir el coproducto en, cuando existe.
Adjunciones
Lawvere demostró que los functors y son adjuntos si y solo si las categorías de coma y , con y los factores de identidad en y respectivamente, son isomorfos, y los elementos equivalentes en la categoría de coma se pueden proyectar en el mismo elemento de . Esto permite describir las adjunciones sin involucrar conjuntos y, de hecho, fue la motivación original para introducir categorías de comas.
Transformaciones naturales
Si los dominios de son iguales, entonces el diagrama que define los morfismos en con es idéntico al diagrama que define una transformación natural . La diferencia entre las dos nociones es que una transformación natural es una colección particular de morfismos del tipo de la forma., mientras que los objetos de la categoría de coma contienen todos los morfismos del tipo de dicha forma. Un funtor de la categoría de coma selecciona esa colección particular de morfismos. Esto se describe sucintamente mediante una observación de SA Huq [3] de que una transformación natural, con , corresponde a un functor que mapea cada objeto a y mapea cada morfismo a . Esta es una correspondencia biyectiva entre transformaciones naturales y functores que son secciones de ambos functores olvidadizos de.
Referencias
- ^ a b c Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Categorías abstractas y concretas (PDF) . John Wiley e hijos. ISBN 0-471-60922-6.
- ^ Rydheard, David E .; Burstall, Rod M. (1988). Teoría de categorías computacionales (PDF) . Prentice Hall.
- ^ Mac Lane, Saunders (1998), Categorías para el matemático que trabaja , Textos de posgrado en matemáticas 5 (2ª ed.), Springer-Verlag, p. 48, ISBN 0-387-98403-8
- Categoría de coma en nLab
- Lawvere, W (1963). "Semántica funcional de las teorías algebraicas" y "Algunos problemas algebraicos en el contexto de la semántica funcional de las teorías algebraicas". http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/5/tr5.pdf
enlaces externos
- J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, Categorías abstractas y concretas: La alegría de los gatos
- WildCats es un paquete de teoría de categorías para Mathematica . Manipulación y visualización de objetos, morfismos , categorías, functores , transformaciones naturales , propiedades universales .
- Página web interactiva que genera ejemplos de construcciones categóricas en la categoría de conjuntos finitos.