En matemáticas , la categoría de espacios topológicos , a menudo denominada Top , es la categoría cuyos objetos son espacios topológicos y cuyos morfismos son mapas continuos . Esta es una categoría porque la composición de dos mapas continuos es nuevamente continua y la función de identidad es continua. El estudio de Top y de las propiedades de los espacios topológicos utilizando las técnicas de la teoría de categorías se conoce como topología categórica .
Nota: Algunos autores utilizan el nombre Top para las categorías con variedades topológicas o con espacios generados de forma compacta como objetos y mapas continuos como morfismos.
Como categoría concreta
Como muchas categorías, la categoría Top es una categoría concreta , lo que significa que sus objetos son conjuntos con estructura adicional (es decir, topologías) y sus morfismos son funciones que preservan esta estructura. Hay un functor olvidadizo natural
- U : Arriba → Establecer
a la categoría de conjuntos que asigna a cada espacio topológico el conjunto subyacente ya cada mapa continuo la función subyacente .
El functor olvidadizo U tiene un adjunto izquierdo
- D : Establecer → Arriba
que equipa un conjunto dado con la topología discreta y un adjunto derecho
- I : Establecer → Arriba
que equipa un conjunto dado con la topología indiscreta . Ambos functores son, de hecho, inversos a la derecha de U (lo que significa que UD y UI son iguales al functor de identidad en Set ). Además, dado que cualquier función entre espacios discretos o indiscretos es continua, ambos functores proporcionan integraciones completas de Set into Top .
La parte superior también es de fibra completa, lo que significa que la categoría de todas las topologías en un conjunto X dado (llamada fibra de U por encima de X ) forma una red completa cuando se ordena por inclusión . El elemento más importante de esta fibra es la topología discreta en X , mientras que el elemento menor es la topología indiscreta.
Top es el modelo de lo que se llama una categoría topológica . Estas categorías se caracterizan por el hecho de que cada fuente estructurada tiene una elevación inicial única . En Top, la elevación inicial se obtiene colocando la topología inicial en la fuente. Las categorías topológicas tienen muchas propiedades en común con Top (como completitud de fibras, functores discretos e indiscretos y elevación única de límites).
Límites y colimits
La categoría Top es tanto completa como cocompleta , lo que significa que todos los límites pequeños y colimits existen en Top . De hecho, el functor olvidadizo U : Top → Set eleva de forma única tanto los límites como los colímites y los conserva también. Por lo tanto, los (co) límites en Top se dan colocando topologías en los (co) límites correspondientes en Set .
Específicamente, si F es un diagrama en Top y ( L , φ : L → F ) es un límite de UF en Set , el límite correspondiente de F en Top se obtiene colocando la topología inicial en ( L , φ : L → F ). Dualmente, los colimits en Top se obtienen colocando la topología final en los colimits correspondientes en Set .
A diferencia de muchas categorías algebraicas , el functor olvidadizo U : Top → Set no crea ni refleja límites, ya que normalmente habrá conos no universales en Top cubriendo conos universales en Set .
Ejemplos de límites y colimits en Top incluyen:
- El conjunto vacío (considerado como un espacio topológico) es el objeto inicial de Top ; cualquier espacio topológico singleton es un objeto terminal . Por tanto, no hay objetos cero en Top .
- El producto en Top viene dado por la topología del producto en el producto cartesiano . El coproducto viene dado por la unión desarticulada de espacios topológicos.
- El ecualizador de un par de morfismos se obtiene colocando la topología del subespacio en el ecualizador de la teoría de conjuntos. Dualmente, el coecualizador se obtiene colocando la topología del cociente en el coecualizador de la teoría de conjuntos.
- Los límites directos y los límites inversos son los límites de la teoría de conjuntos con la topología final y la topología inicial, respectivamente.
- Los espacios adjuntos son un ejemplo de pushouts en Top .
Otras propiedades
- Los monomorfismos en Top son los mapas continuos inyectivos , los epimorfismos son los mapas continuos sobreyectivos y los isomorfismos son los homeomorfismos .
- Los monomorfismos extremos son (hasta el isomorfismo) las incrustaciones del subespacio . De hecho, en Top todos los monomorfismos extremos satisfacen la propiedad más fuerte de ser regular .
- Los epimorfismos extremos son (esencialmente) los mapas de cocientes . Todo epimorfismo extremo es regular.
- Los monomorfismos divididos son (esencialmente) las inclusiones de retracciones en su espacio ambiental.
- Los epimorfismos divididos son (hasta el isomorfismo) los mapas sobreyectivos continuos de un espacio en una de sus retracciones.
- No hay morfismos cero en Top y, en particular, la categoría no es preaditiva .
- Top no es cartesiano cerrado (y por lo tanto tampoco es un topos ) ya que no tiene objetos exponenciales para todos los espacios. Cuando se desea esta característica, a menudo se restringe a la subcategoría completa de espacios de Hausdorff generados de forma compacta CGHaus . Sin embargo, Top está contenido en la categoría exponencial de pseudotopologías , que es en sí misma una subcategoría de la categoría (también exponencial) de espacios de convergencia . [1]
Relaciones con otras categorías
- La categoría de espacios topológicos puntiagudos Top • es una categoría de cóslice sobre Top .
- La categoría de homotopía hTop tiene espacios topológicos para objetos y clases de equivalencia de homotopía de mapas continuos para morfismos. Esta es una categoría de cociente de Top . También se puede formar la categoría de homotopía puntiaguda hTop • .
- Arriba contiene la categoría importante de espacios Haus of Hausdorff como una subcategoría completa . La estructura agregada de esta subcategoría permite más epimorfismos: de hecho, los epimorfismos en esta subcategoría son precisamente aquellos morfismos con imágenes densas en sus codominios , por lo que los epimorfismos no necesitan ser sobreyectivos .
- Arriba contiene la subcategoría completa CGHaus de espacios de Hausdorff generados de forma compacta , que tiene la importante propiedad de ser una categoría cerrada cartesiana al mismo tiempo que contiene todos los espacios de interés típicos. Esto hace que CGHaus sea una categoría particularmente conveniente de espacios topológicos que se usa a menudo en lugar de Top .
- El functor olvidadizo de Set tiene un adjunto izquierdo y derecho, como se describe arriba en la sección de categoría concreta.
- Hay un functor para la categoría de locales Loc que envía un espacio topológico a su localización de conjuntos abiertos. Este funtor tiene un adjunto derecho que envía cada localidad a su espacio topológico de puntos. Este adjunto se restringe a una equivalencia entre la categoría de espacios sobrios y locales espaciales.
Ver también
- Categoría de grupos
- Categoría de espacios métricos
- Categoría de conjuntos
- Categoría de espacios topológicos con punto base
- Categoría de espacios vectoriales topológicos - categoría topológica
Citas
- ^ Dolecki 2009 , págs. 1-51
Referencias
- Adámek, Jiří, Herrlich, Horst y Strecker, George E .; (1990). Categorías abstractas y concretas (4.2MB PDF). Originalmente publ. John Wiley e hijos. ISBN 0-471-60922-6 . (ahora edición gratuita en línea).
- Dolecki, Szymon ; Mynard, Frederic (2016). Fundamentos de convergencia de la topología . Nueva Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917 .
- Dolecki, Szymon (2009). Mynard, Frédéric; Pearl, Elliott (eds.). "Una iniciación a la teoría de la convergencia" (PDF) . Más allá de la topología . Serie de matemáticas contemporáneas AMS 486 : 115–162 . Consultado el 14 de enero de 2021 .
- Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2014). "Una teoría unificada de espacios funcionales e hiperespacios: propiedades locales" (PDF) . Houston J. Math . 40 (1): 285–318 . Consultado el 14 de enero de 2021 .
- Herrlich, Horst : Topologische Reflexionen und Coreflexionen . Springer Lecture Notes in Mathematics 78 (1968).
- Herrlich, Horst: topología categórica 1971–1981 . En: Topología general y sus relaciones con el análisis moderno y el álgebra 5, Heldermann Verlag 1983, págs. 279–383.
- Herrlich, Horst & Strecker, George E .: Topología categórica: sus orígenes, ejemplificados por el desarrollo de la teoría de reflexiones topológicas y correflexiones antes de 1971 . En: Manual de Historia de la Topología General (eds. CEAull & R. Lowen), Kluwer Acad. Publ. vol 1 (1997) págs. 255–341.