En matemáticas , el teorema de Cauchy-Hadamard es el resultado de un análisis complejo que lleva el nombre de los matemáticos franceses Augustin Louis Cauchy y Jacques Hadamard , que describen el radio de convergencia de una serie de potencias . Fue publicado en 1821 por Cauchy, [1] pero permaneció relativamente desconocido hasta que Hadamard lo redescubrió. [2] La primera publicación de Hadamard de este resultado fue en 1888; [3] también lo incluyó como parte de su Ph.D. de 1892. tesis. [4]
Teorema de una variable compleja
Considere la serie de potencias formales en una variable compleja z de la forma
dónde
Entonces el radio de convergencia de f en el punto a viene dado por
donde lim sup denota el límite superior , el límite cuando n se aproxima al infinito del supremo de los valores de secuencia después de la n- ésima posición. Si los valores de la secuencia son ilimitados de modo que el límite es ∞, entonces la serie de potencias no converge cerca de a , mientras que si el límite es 0, entonces el radio de convergencia es ∞, lo que significa que la serie converge en todo el plano.
Prueba
Sin pérdida de generalidad, supongamos que. Mostraremos primero que la serie de potencias converge para , y luego que diverge para .
Primero suponga . Dejar No ser o Para cualquier , existe sólo un número finito de tal que . Ahora para todos menos un número finito de , entonces la serie converge si . Esto prueba la primera parte.
Por el contrario, para , para infinitos , Así que si , Vemos que la serie no puede converger debido a que su n º término no tiende a 0. [5]
Teorema de varias variables complejas
Dejar ser un multi-índice (una n -tupla de enteros) con, luego converge con radio de convergencia (que también es un índice múltiple) si y solo si
a la serie de potencia multidimensional
La prueba se puede encontrar en [6].
Notas
- ^ Cauchy, AL (1821), Analizar algébrique.
- ^ Bottazzini, Umberto (1986), The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass , Springer-Verlag, pp. 116-117 , ISBN 978-0-387-96302-0. Traducido del italiano por Warren Van Egmond.
- ^ Hadamard, J. , "Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d'une variable", CR Acad. Sci. París , 106 : 259–262.
- ^ Hadamard, J. (1892), "Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor" , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 4 e Série, VIII. También en Thèses présentées à la faculté des sciences de Paris pour obtenir le grade de docteur ès sciences mathématiques , París: Gauthier-Villars et fils, 1892.
- ^ Lang, Serge (2002), Análisis complejo: cuarta edición , Springer, págs. 55–56, ISBN 0-387-98592-1 Textos de Posgrado en Matemáticas
- ^ Shabat, BV (1992), Introducción al análisis complejo Parte II. Funciones de varias variables , American Mathematical Society, ISBN 978-0821819753