Sin pérdida de generalidad (a menudo abreviado como WOLOG , WLOG [1] o wlog ; menos comúnmente declarado como sin pérdida de generalidad o sin pérdida de generalidad ) es una expresión de uso frecuente en matemáticas . El término se utiliza para indicar que el supuesto que sigue se elige arbitrariamente, reduciendo la premisa a un caso particular, pero no afecta la validez de la prueba en general. Los otros casos son lo suficientemente similares al presentado que probarlos sigue esencialmente la misma lógica. [2] [3] Como resultado, una vez que se da una prueba para el caso particular, estrivial adaptarlo para probar la conclusión en todos los demás casos.
En muchos escenarios, el uso de "sin pérdida de generalidad" es posible gracias a la presencia de simetría . Por ejemplo, si alguna propiedad P ( x , Y ) de números reales es conocido por ser simétrico en x y y , a saber, que P ( x , y ) es equivalente a P ( y , x ), entonces en probar que P ( x , y ) se mantiene para cada x y y , uno puede asumir "sin pérdida de generalidad", que x ≤ y . No hay pérdida de generalidad en este supuesto, ya que una vez el caso x ≤ y ⇒ P ( x , y ) se ha demostrado, el otro caso sigue intercambiando x y y : y ≤ x ⇒ P ( y , x ), y por simetría de P , esto implica P ( x , y ), mostrando así que P ( x , y ) se cumple para todos los casos.
Por otro lado, si tal simetría (u otra forma de equivalencia) no se puede establecer, entonces el uso de "sin pérdida de generalidad" es incorrecto y puede equivaler a una instancia de prueba por ejemplo : una falacia lógica de probar una afirmación. demostrando un ejemplo no representativo. [4] [3]
Ejemplo
Considere el siguiente teorema (que es un caso del principio de casillero ):
Si tres objetos están pintados de rojo o azul, entonces debe haber al menos dos objetos del mismo color.
Una prueba:
Suponga, sin pérdida de generalidad, que el primer objeto es rojo. Si cualquiera de los otros dos objetos es rojo, entonces hemos terminado; si no, entonces los otros dos objetos deben ser azules y todavía estamos terminados.
Aquí, observe que el argumento anterior funciona porque se podría aplicar exactamente el mismo razonamiento si se hiciera la suposición alternativa, es decir, que el primer objeto es azul. Como resultado, el uso de "sin pérdida de generalidad" es válido en este caso.
Ver también
Referencias
- ^ "Sin pérdida de generalidad" . Arte de resolver problemas . Consultado el 21 de octubre de 2019 .
- ^ Chartrand, Gary ; Polimeni, Albert D .; Zhang, Ping (2008), Pruebas matemáticas / Una transición a las matemáticas avanzadas (2ª ed.), Pearson / Addison Wesley, págs. 80–81, ISBN 978-0-321-39053-0
- ^ a b "El glosario definitivo de jerga matemática superior - sin pérdida de generalidad" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 21 de octubre de 2019 .
- ^ "Una desigualdad acíclica en tres variables" . www.cut-the-knot.org . Consultado el 21 de octubre de 2019 .