La fórmula de Cauchy para la integración repetida , llamada así por Augustin Louis Cauchy , permite comprimir n antidiferenciaciones de una función en una única integral (cf. fórmula de Cauchy ).
Sea f una función continua en la línea real. A continuación, el n º repitió integral de f basado en una ,
- ,
viene dado por una sola integración
- .
Prueba
Una prueba se da por inducción . Dado que f es continua, el caso base se sigue del teorema fundamental del cálculo :
- ;
dónde
- .
Ahora, suponga que esto es cierto para n , y demostrémoslo para n +1. En primer lugar, utilizando la regla integral de Leibniz , tenga en cuenta que
- .
Luego, aplicando la hipótesis de inducción,
Esto completa la prueba.
La fórmula de Cauchy se generaliza a parámetros no enteros mediante la integral de Riemann-Liouville , donde es reemplazado por , y el factorial se reemplaza por la función gamma . Las dos fórmulas concuerdan cuando.
Tanto la fórmula de Cauchy como la integral de Riemann-Liouville se generalizan a una dimensión arbitraria por el potencial de Riesz .
En cálculo fraccionario , estas fórmulas se pueden utilizar para construir una integral diferente , lo que permite diferenciar o integrar una fracción de veces. La diferenciación de un número fraccionario de veces se puede lograr mediante la integración fraccionada y luego diferenciar el resultado.