Regla integral de Leibniz

En cálculo , la regla integral de Leibniz para diferenciación bajo el signo integral, llamada así por Gottfried Leibniz , establece que para una integral de la forma

donde , la derivada de esta integral se expresa como${\displaystyle -\infty <a(x),b(x)<\infty }$

donde la derivada parcial indica que dentro de la integral, solo se considera la variación de con al tomar la derivada. ^[1] Observe que si y son constantes en lugar de funciones de , tenemos el caso especial:${\ estilo de visualización f (x, t)}$${\ estilo de visualización x}$${\ estilo de visualización a (x)}$${\ estilo de visualización b (x)}$${\ estilo de visualización x}$

Así, bajo ciertas condiciones, uno puede intercambiar los operadores diferenciales integrales y parciales . Este importante resultado es particularmente útil en la diferenciación de transformadas integrales . Un ejemplo de ello es la función generadora de momentos en la teoría de la probabilidad , una variación de la transformada de Laplace , que se puede diferenciar para generar los momentos de una variable aleatoria . Si se aplica la regla integral de Leibniz es esencialmente una cuestión sobre el intercambio de límites .

Teorema  —  Sea una función tal que ambas y su derivada parcial son continuas en y en alguna región del plano, incluyendo , . Suponga también que las funciones y son continuas y ambas tienen derivadas continuas para . Entonces, para ,${\ estilo de visualización f (x, t)}$${\ estilo de visualización f (x, t)}$${\ estilo de visualización f_ {x} (x, t)}$${\ estilo de visualización t}$${\ estilo de visualización x}$${\ estilo de visualización xt}$${\ estilo de visualización a (x) \ leq t \ leq b (x)}$${\displaystyle x_{0}\leqx\leqx_{1}}$${\ estilo de visualización a (x)}$${\ estilo de visualización b (x)}$${\displaystyle x_{0}\leqx\leqx_{1}}$${\displaystyle x_{0}\leqx\leqx_{1}}$

Figura 1: Un campo vectorial F ( r , t ) definido en todo el espacio y una superficie Σ delimitada por la curva ∂Σ que se mueve con velocidad v sobre la cual se integra el campo.