integral iterada

En cálculo multivariable , una integral iterada es el resultado de aplicar integrales a una función de más de una variable (por ejemplo o ) de manera que cada una de las integrales considere algunas de las variables como constantes dadas . Por ejemplo, la función , si se considera un parámetro dado , puede integrarse con respecto a , . El resultado es una función de y por lo tanto se puede considerar su integral. Si se hace esto, el resultado es la integral iterada ${\ estilo de visualización f (x, y)}$ ${\ estilo de visualización f (x, y, z)}$ ${\ estilo de visualización f (x, y)}$ ${\ estilo de visualización y}$ ${\ estilo de visualización x}$ ${\ estilo de texto \ int f (x, y) \, dx}$ ${\ estilo de visualización y}$

Es clave para la noción de integrales iteradas que esta es diferente, en principio, de la integral múltiple

En general, aunque estos dos pueden ser diferentes, el teorema de Fubini establece que bajo condiciones específicas, son equivalentes.

En la notación que usa paréntesis, las integrales iteradas se calculan siguiendo el orden operativo indicado por los paréntesis comenzando desde la integral más interna hacia afuera. En la notación alternativa, escribiendo , el integrando más interno se calcula primero. ${\estilo de texto \int dy\,\int dx\,f(x,y)}$

Este ejemplo omite las constantes de integración. Después de la primera integración con respecto a x , necesitaríamos rigurosamente introducir una función "constante" de y . Es decir, si tuviéramos que derivar esta función con respecto a x , cualquier término que contenga solo y desaparecería, dejando el integrando original. De manera similar, para la segunda integral, introduciríamos una función "constante" de x , porque hemos integrado con respecto a y . De esta forma, la integración indefinida no tiene mucho sentido para funciones de varias variables.

El orden en que se calculan las integrales es importante en las integrales iteradas, particularmente cuando el integrando no es continuo en el dominio de integración. Los ejemplos en los que los diferentes órdenes conducen a diferentes resultados suelen ser para funciones complicadas como la siguiente.