En álgebra lineal y análisis funcional , el teorema min-max , o el teorema variacional , o el principio min-max de Courant-Fischer-Weyl , es un resultado que proporciona una caracterización variacional de los valores propios de operadores hermitianos compactos en espacios de Hilbert . Puede ser visto como el punto de partida de muchos resultados de naturaleza similar.
Este artículo analiza primero el caso de dimensión finita y sus aplicaciones antes de considerar operadores compactos en espacios de Hilbert de dimensión infinita. Veremos que para los operadores compactos, la prueba del teorema principal usa esencialmente la misma idea del argumento de dimensión finita.
En el caso de que el operador no sea hermitiano, el teorema proporciona una caracterización equivalente de los valores singulares asociados . El teorema min-max se puede extender a operadores autoadjuntos que están acotados a continuación.
Sea A una matriz hermitiana de n × n . Al igual que con muchos otros resultados variacionales sobre valores propios, se considera el cociente de Rayleigh-Ritz R A : C n \ {0} → R definido por
donde (⋅, ⋅) denota el producto interior euclidiano en C n . Claramente, el cociente de Rayleigh de un vector propio es su valor propio asociado. De manera equivalente, el cociente de Rayleigh-Ritz se puede reemplazar por
Para matrices hermitianas A , el rango de la función continua R A ( x ), o f ( x ), es un subconjunto compacto [ a , b ] de la recta real. El máximo b y el mínimo a son el valor propio más grande y más pequeño de A , respectivamente. El teorema min-max es un refinamiento de este hecho.