En el análisis funcional , el concepto de operador compacto en el espacio de Hilbert es una extensión del concepto de una matriz que actúa sobre un espacio vectorial de dimensión finita; en el espacio de Hilbert, los operadores compactos son precisamente el cierre de los operadores de rango finito (representables por matrices de dimensión finita) en la topología inducida por la norma del operador . Como tal, los resultados de la teoría de matrices a veces se pueden extender a operadores compactos usando argumentos similares. Por el contrario, el estudio de operadores generales en espacios de dimensión infinita a menudo requiere un enfoque genuinamente diferente.
Por ejemplo, la teoría espectral de operadores compactos en espacios de Banach adopta una forma muy similar a la forma canónica de matrices de Jordan . En el contexto de los espacios de Hilbert, una matriz cuadrada es unitariamente diagonalizable si y solo si es normal . Un resultado correspondiente es válido para los operadores compactos normales en espacios de Hilbert. De manera más general, se puede descartar el supuesto de compacidad. Como se indicó anteriormente, las técnicas utilizadas para probar, por ejemplo, el teorema espectral , son diferentes, e involucran medidas del espectro valoradas por el operador .
Se discutirán algunos resultados para operadores compactos en el espacio de Hilbert, comenzando con propiedades generales antes de considerar subclases de operadores compactos.
Definición
Dejar ser un espacio de Hilbert y ser el conjunto de operadores acotados en. Entonces, un operadorse dice que es un operador compacto si la imagen de cada conjunto acotado bajoes relativamente compacto .
Algunas propiedades generales
Enumeramos en esta sección algunas propiedades generales de los operadores compactos.
Si X e Y son espacios de Hilbert (de hecho, X Banach e Y normalizados serán suficientes), entonces T : X → Y es compacto si y solo si es continuo cuando se ve como un mapa de X con la topología débil a Y (con la topología normal). (Ver ( Zhu 2007 , Teorema 1.14, p.11), y observe en esta referencia que la acotación uniforme se aplicará en la situación donde F ⊆ X satisface (∀φ ∈ Hom ( X , K )) sup { x ** ( φ) = φ ( x ): x } <∞, donde K es el campo subyacente. El principio de acotación uniforme se aplica ya que Hom ( X , K ) con la topología normal será un espacio de Banach, y los mapas x ** : Hom ( X , K ) → K son homomorfismos continuos con respecto a esta topología.)
La familia de operadores compactos es un estándar cerrado, bilateral, * -ideal en L ( H ). En consecuencia, un operador compacto T no puede tener una inversa acotada si H es de dimensión infinita. Si ST = TS = I , entonces el operador de identidad sería compacto, una contradicción.
Si secuencias de operadores acotados B n → B , C n → C en la topología de operador fuerte y T es compacto, entonces converge a en norma. [1] Por ejemplo, considere el espacio de Hilbertcon base estándar { e n }. Sea P m la proyección ortogonal en el tramo lineal de { e 1 ... e m }. La secuencia { P m } converge con el operador de identidad I fuertemente pero no de manera uniforme. Defina T por T es compacto y, como se afirmó anteriormente, P m T → IT = T en la topología de operador uniforme: para todo x ,
Observe que cada P m es un operador de rango finito. Un razonamiento similar muestra que si T es compacto, entonces T es el límite uniforme de alguna secuencia de operadores de rango finito.
Por la norma de cierre del ideal de operadores compactos, lo contrario también es cierto.
El cociente C * -álgebra de L ( H ) módulo los operadores compactos se llama álgebra de Calkin , en la que se pueden considerar las propiedades de un operador hasta la perturbación compacta.
Operador compacto autoadjunto
Se dice que un operador acotado T en un espacio de Hilbert H es autoadjunto si T = T * , o equivalentemente,
De ello se deduce que < Tx , x > es real para todo x ∈ H , por lo que los valores propios de T , cuando existen, son reales. Cuando un subespacio lineal cerrado L de H es invariante bajo T , entonces la restricción de T a L es un operador autoadjunta en L , y además, el complemento ortogonal L ⊥ de L también es invariante bajo T . Por ejemplo, el espacio H se puede descomponer como la suma ortogonal directa de dos T - subespacios lineales cerrados invariantes: el núcleo de T y el complemento ortogonal (ker T ) ⊥ del núcleo (que es igual al cierre del rango de T , para cualquier operador autoadjunto acotado). Estos hechos básicos juegan un papel importante en la demostración del teorema espectral a continuación.
El resultado de la clasificación para matrices n × n hermitianas es el teorema espectral : si M = M * , entonces M es unitariamente diagonalizable y la diagonalización de M tiene entradas reales. Deje T un operador compacto autoadjunta en un espacio de Hilbert H . Demostraremos el mismo enunciado para T : el operador T puede ser diagonalizado por un conjunto ortonormal de autovectores, cada uno de los cuales corresponde a un autovalor real.
Teorema espectral
Teorema Por cada operador autoadjunta compacto T en un real o complejo espacio de Hilbert H , existe una base ortonormal de H que consiste en vectores propios de T . Más específicamente, el complemento ortogonal del núcleo de T admite una base ortonormal finita de autovectores de T , o una base ortonormal numerablemente infinita { e n } de autovectores de T , con sus correspondientes autovalores { λ n } ⊂ R , tal que λ n → 0 .
En otras palabras, un operador compacto autoadjunto se puede diagonalizar unitariamente. Este es el teorema espectral.
Cuando H es separable , se puede mezclar la base { e n } con una base ortonormal contable para el núcleo de T , y obtener una base ortonormal { f n } para H , que consta de autovectores de T con autovalores reales { μ n } tales que μ n → 0 .
Corolario Para cada operador compacto autoadjunto T en un espacio H de Hilbert de dimensión infinita separable real o compleja , existe una base ortonormal numerablemente infinita { f n } de H que consta de vectores propios de T , con valores propios correspondientes { μ n } ⊂ R , tal que μ n → 0 .
La idea
Analicemos primero la prueba de dimensión finita. Demuestra que el teorema espectral para una matriz T hermitiana n × n depende de mostrar la existencia de un vector propio x . Una vez hecho esto, hermiticidad implica que tanto el lapso lineal y complemento ortogonal de x (de dimensión n -1) son subespacios invariables de T . El resultado deseado se obtiene luego por inducción para.
La existencia de un vector propio se puede demostrar de (al menos) dos formas alternativas:
- Se puede argumentar algebraicamente: el polinomio característico de T tiene una raíz compleja, por lo tanto, T tiene un valor propio con un vector propio correspondiente.
- Los valores propios se pueden caracterizar variacionalmente: El valor propio más grande es el máximo en la esfera unitaria cerrada de la función f : R 2 n → R definida por f ( x ) = x * Tx = < Tx , x >.
Nota. En el caso de dimensión finita, parte del primer enfoque funciona con una generalidad mucho mayor; cualquier matriz cuadrada, no necesariamente hermitiana, tiene un vector propio. Esto simplemente no es cierto para los operadores generales en espacios de Hilbert. En dimensiones infinitas, tampoco es inmediato cómo generalizar el concepto de polinomio característico.
El teorema espectral para el caso autoadjunto compacto se puede obtener de manera análoga: se encuentra un vector propio extendiendo el segundo argumento de dimensión finita anterior y luego se aplica la inducción. Primero esbozamos el argumento de las matrices.
Dado que la esfera unitaria cerrada S en R 2 n es compacta y f es continua, f ( S ) es compacta en la línea real, por lo tanto f alcanza un máximo en S , en algún vector unitario y . Según el teorema del multiplicador de Lagrange, y satisface
para algunos λ. Por hermiticidad, Ty = λ y .
Alternativamente, sea z ∈ C n cualquier vector. Observe que si un vector unitario y maximiza < Tx , x > en la esfera unitaria (o en la bola unitaria), también maximiza el cociente de Rayleigh :
Considere la función:
Por cálculo, h ′ (0) = 0 , es decir ,
Definir:
Después de algo de álgebra, la expresión anterior se convierte en ( Re denota la parte real de un número complejo)
Pero z es arbitrario, por lo tanto Ty - my = 0 . Este es el quid de la demostración del teorema espectral en el caso matricial.
Tenga en cuenta que mientras que los multiplicadores de Lagrange se generalizan al caso de dimensión infinita, la compacidad de la esfera unitaria se pierde. Aquí es donde resulta útil la suposición de que el operador T sea compacto.
Detalles
Reclame si T es un operador autoadjunto compacto en un espacio de Hilbert distinto de cero H y
entonces m ( T ) o - m ( T ) es un valor propio de T .
Si m ( T ) = 0 , entonces T = 0 por la identidad de polarización , y este caso está claro. Considere la función
Reemplazando T por - T si es necesario, se puede suponer que el supremo de f en la bola unitaria cerrada B ⊂ H es igual am ( T )> 0 . Si f alcanza su máximo m ( T ) en B en algún vector unitario y , entonces, por el mismo argumento usado para matrices, y es un vector propio de T , con el valor propio correspondiente λ = < λy , y > = < Ty , y > = f ( y ) = m ( T ) .
Según el teorema de Banach-Alaoglu y la reflexividad de H , la bola unitaria cerrada B es débilmente compacta. Además, la compacidad de T significa (ver arriba) que T : X con la topología débil → X con la topología normal es continua. Estos dos hechos implican que f es continua en B equipado con la topología débil, y f attains por lo tanto su máximo m en B en algún y ∈ B . Por maximalidad,lo que a su vez implica que y también maximiza el cociente de Rayleigh g ( x ) (ver arriba). Esto muestra que y es un vector propio de T , y finaliza la prueba de la afirmación.
Nota. La compacidad de T es crucial. En general, f no necesita ser continuo para la topología débil en la bola unidad B . Por ejemplo, sea T el operador de identidad, que no es compacto cuando H es de dimensión infinita. Tome cualquier secuencia ortonormal { y n }. Entonces y n converge a 0 débilmente, pero lím f ( y n ) = 1 ≠ 0 = f (0).
Deje T un operador compacto en un espacio de Hilbert H . Una secuencia ortonormal finita (posiblemente vacía) o numerablemente infinita { e n } de autovectores de T , con sus correspondientes autovalores distintos de cero, se construye por inducción como sigue. Deje H 0 = H y T 0 = T . Si m ( T 0 ) = 0, entonces T = 0 y la construcción se detiene sin producir ningún vector propio e n . Suponga que se han encontrado los vectores propios ortonormales e 0 , ..., e n - 1 de T. Entonces E n : = la distancia ( e 0 , ..., e n - 1 ) es invariante bajo T , y por la auto-adjointness, el complemento ortogonal de H n de E n es un subespacio invariante de la T . Sea T n la restricción de T a H n . Si m ( T n ) = 0, entonces T n = 0 y la construcción se detiene. De lo contrario, según la afirmación aplicada a T n , hay una norma uno eigenvector e n de T en H n , con el correspondiente valor propio distinto de cero λ n = ± m ( T n ) .
Sea F = (span { e n }) ⊥ , donde { e n } es la secuencia finita o infinita construida por el proceso inductivo; por auto-adjointness, F es invariante bajo T . Let S denota la restricción de T a F . Si el proceso se detuvo después de un número finito de pasos, con el último vector e m −1 , entonces F = H m y S = T m = 0 por construcción. En el caso infinito, la compacidad de T y la convergencia débil de e n a 0 implican que Te n = λ n e n → 0 , por lo tanto λ n → 0 . Dado que F está contenido en H n para todo n , se deduce que m ( S ) ≤ m ({ T n }) = | λ n | para cada n , entonces m ( S ) = 0. Esto implica nuevamente que S = 0 .
El hecho de que S = 0 significa que F está contenido en el núcleo de T . A la inversa, si x ∈ ker ( T ) entonces por autoadjunta, x es ortogonal a todo autovector { e n } con autovalor distinto de cero. De ello resulta que F = ker ( T ) , y que { e n } es una base ortonormal para el complemento ortogonal del núcleo de T . Se puede completar la diagonalización de T seleccionando una base ortonormal del núcleo. Esto prueba el teorema espectral.
Una prueba más breve pero más abstracta es la siguiente: según el lema de Zorn , seleccione U para que sea un subconjunto máximo de H con las siguientes tres propiedades: todos los elementos de U son vectores propios de T , tienen la norma uno y dos elementos distintos de U cualesquiera son ortogonales. Deje que F sea el complemento ortogonal de la extensión lineal de U . Si F ≠ {0}, es un subespacio invariable no trivial de T , y por la demanda inicial, no debe existir una norma vector propio y de T en F . Pero entonces T ∪ { y } contradice la maximalidad de U . De ello resulta que F = {0}, por lo tanto tramo ( T ) es denso en H . Esto demuestra que T es una base ortonormal de H que consiste en vectores propios de T .
Cálculo funcional
Si T es compacto en un espacio de Hilbert de dimensión infinita H , entonces T no es invertible, por lo tanto, σ ( T ), el espectro de T , siempre contiene 0. El teorema espectral muestra que σ ( T ) consta de los valores propios { λ n } de T y de 0 (si 0 no es ya un valor propio). El conjunto σ ( T ) es un subconjunto compacto de los números complejos y los valores propios son densos en σ ( T ).
Cualquier teorema espectral puede reformularse en términos de cálculo funcional . En el contexto actual, tenemos:
Teorema. Deje C (σ ( T )) denotar el C * -álgebra de funciones continuas en σ ( T ). Existe un homomorfismo isométrico único Φ: C (σ ( T )) → L ( H ) tal que Φ (1) = I y, si f es la función identidad f (λ) = λ, entonces Φ ( f ) = T . Además, σ ( f ( T )) = f (σ ( T )) .
El mapa de cálculo funcional Φ se define de forma natural: sea { e n } una base ortonormal de autovectores para H , con sus correspondientes autovalores { λ n }; para f ∈ C (σ ( T )) , el operador Φ ( f ), diagonal con respecto a la base ortonormal { e n }, se define estableciendo
por cada n . Dado que Φ ( f ) es diagonal con respecto a una base ortonormal, su norma es igual al superior del módulo de coeficientes diagonales,
Las otras propiedades de Φ se pueden verificar fácilmente. Por el contrario, cualquier homomorfismo Ψ que satisfaga los requisitos del teorema debe coincidir con Φ cuando f es un polinomio. Según el teorema de aproximación de Weierstrass , las funciones polinomiales son densas en C (σ ( T )), y se sigue que Ψ = Φ . Esto muestra que Φ es único.
El cálculo funcional continuo más general se puede definir para cualquier operador lineal acotado autoadjunto (o incluso normal, en el caso complejo) en un espacio de Hilbert. El caso compacto descrito aquí es un ejemplo particularmente simple de este cálculo funcional.
Diagonalización simultánea
Considere un espacio de Hilbert H (por ejemplo, el C n de dimensión finita ) y un conjunto de conmutaciónde operadores autoadjuntos. Luego, en condiciones adecuadas, se puede diagonalizar simultáneamente (unitariamente). Verbigracia. , existe una base ortonormal Q que consta de autovectores comunes para los operadores, es decir
Lema. Suponga que todos los operadores enson compactos. Entonces cada cerrado distinto de cero-subespacio invariante tiene un vector propio común para .
Prueba. Caso I: todos los operadores tienen cada uno exactamente un valor propio en. Tomar cualquierade unidad de longitud. Es un vector propio común.
Caso II: hay algún operador con al menos 2 valores propios en y deja . Dado que T es compacto y α no es cero, tenemos es una dimensión finita (y por lo tanto cerrada) distinta de cero -subespacio invariante (debido a que todos los operadores conmutan con T , tenemos para y , que ). En particular, dado que α es solo uno de los valores propios de en , definitivamente tenemos . Así, en principio podríamos argumentar por inducción sobre la dimensión, dando como resultado que tiene un vector propio común para .
Teorema 1. Si todos los operadores en son compactos, entonces los operadores pueden ser diagonalizados simultáneamente (unitariamente).
Prueba. El siguiente conjunto
está parcialmente ordenado por inclusión. Esto claramente tiene la propiedad de Zorn. Entonces, tomando Q como un miembro máximo, si Q es una base para todo el espacio de Hilbert H , hemos terminado. Si este no fuera el caso, dejar que, es fácil ver que esto sería un -subespacio cerrado invariable no trivial; y por lo tanto, según el lema anterior, habría un vector propio común para los operadores (necesariamente ortogonal a Q ). Pero entonces habría una extensión adecuada de Q dentro de P ; una contradicción a su maximalidad.
Teorema 2. Si hay un operador compacto inyectivo en; entonces los operadores pueden ser diagonalizados simultáneamente (unitariamente).
Prueba. Repararinyectable compacto. Entonces tenemos, por la teoría espectral de operadores simétricos compactos en espacios de Hilbert:
dónde es un subconjunto discreto y contable de números reales positivos, y todos los espacios propios son de dimensión finita. Desdeun conjunto de conmutación, tenemos todos los espacios propios son invariantes. Dado que los operadores restringidos a los espacios propios (que son de dimensión finita) son automáticamente todos compactos, podemos aplicar el Teorema 1 a cada uno de ellos, y encontrar bases ortonormales Q σ para el. Dado que T 0 es simétrico, tenemos que
es un conjunto ortonormal (contable). Es también, por la descomposición dijimos en primer lugar, una base para H .
Teorema 3. Si H es un espacio de Hilbert de dimensión finita, yun conjunto conmutativo de operadores, cada uno de los cuales es diagonalizable; entonces los operadores se pueden diagonalizar simultáneamente.
Prueba. Caso I: todos los operadores tienen exactamente un valor propio. Entonces cualquier base para H servirá.
Caso II: Arreglar un operador con al menos dos valores propios, y sea así que eso es un operador simétrico. Ahora sea α un valor propio de. Entonces es fácil ver que ambos:
no son triviales -subespacios invariantes. Por inducción sobre dimensión tenemos que existen bases linealmente independientes Q 1 , Q 2 para los subespacios, lo que demuestra que los operadores enpuede ser diagonalizable simultáneamente en los subespacios. Claramente entonces demuestra que los operadores en se puede diagonalizar simultáneamente.
Observe que no tuvimos que usar directamente la maquinaria de matrices en esta demostración. Hay otras versiones que lo hacen.
Podemos reforzar lo anterior al caso en el que todos los operadores simplemente se desplazan con su adjunto; en este caso eliminamos el término "ortogonal" de la diagonalización. Hay resultados más débiles para los operadores que surgen de las representaciones debidas a Weyl-Peter. Sea G un grupo hausdorff fijo localmente compacto, y(el espacio de funciones medibles integrables cuadradas con respecto a la medida de Haar única a escala en G ). Considere la acción de cambio continuo:
Entonces, si G fuera compacto, entonces hay una descomposición única de H en una suma directa contable de subespacios invariantes, irreductibles, de dimensión finita (esto es esencialmente la diagonalización de la familia de operadores). Si G no fuera compacto, pero fuera abeliano, entonces no se logra la diagonalización, pero obtenemos una descomposición continua única de H en subespacios invariantes unidimensionales.
Operador normal compacto
La familia de matrices hermitianas es un subconjunto adecuado de matrices que son unitariamente diagonalizables. Una matriz M es diagonalizable unitariamente si y solo si es normal, es decir, M * M = MM * . Declaraciones similares son válidas para operadores normales compactos.
Sea T compacto y T * T = TT * . Aplicar la descomposición cartesiana a T : definir
Los operadores compactos autoadjuntos R y J se denominan partes real e imaginaria de T, respectivamente. T es compacto significa T * , en consecuencia, R y J son compactos. Además, la normalidad de T implica R y J conmutan. Por lo tanto, pueden diagonalizarse simultáneamente, de lo que se sigue la afirmación.
Un operador compacto hiponormal (en particular, un operador subnormal ) es normal.
Operador unitario
El espectro de un operador unitario U se encuentra en el círculo unitario en el plano complejo; podría ser el círculo unitario completo. Sin embargo, si U es identidad más una perturbación compacta, U solo tiene un espectro contable, que contiene 1 y posiblemente, un conjunto finito o una secuencia que tiende a 1 en el círculo unitario. Más precisamente, suponga U = I + C donde C es compacto. Las ecuaciones UU * = U * U = I y C = U - I muestran que C es normal. El espectro de C contiene 0, y posiblemente, un conjunto finito o una secuencia que tiende a 0. Como U = I + C , el espectro de U se obtiene desplazando el espectro de C en 1.
Ejemplos de
- Sea H = L 2 ([0, 1]) . El operador de multiplicación M definido por
- es un operador autoadjunto acotado en H que no tiene vector propio y, por lo tanto, según el teorema espectral, no puede ser compacto.
- Sea K ( x , y ) integrable al cuadrado en [0, 1] 2 y defina T K en H por
- Entonces T K es compacto en H ; es un operador de Hilbert-Schmidt .
- Supongamos que el núcleo K ( x , y ) satisface la condición de hermiticidad:
- Entonces T K es compacto y autoadjunto en H ; si {φ n } es una base ortonormal de autovectores, con autovalores {λ n }, se puede probar que
- donde la suma de la serie de funciones se entiende como convergencia L 2 para la medida de Lebesgue en [0, 1] 2 . El teorema de Mercer da las condiciones bajo las cuales la serie converge a K ( x , y ) puntualmente y uniformemente en [0, 1] 2 .
Ver también
- Álgebra de Calkin
- Operador compacto
- Descomposición del espectro (análisis funcional) . Si se elimina el supuesto de compacidad, los operadores no necesitan tener espectro contable en general.
- Descomposición de valores singulares # Operadores acotados en espacios de Hilbert . La noción de valores singulares se puede extender desde matrices a operadores compactos.
Referencias
- ^ Widom, H. (1976). "Comportamiento asintótico de bloques de matrices de Toeplitz y determinantes. II" . Avances en Matemáticas . 21 (1): 1–29. doi : 10.1016 / 0001-8708 (76) 90113-4 .
- J. Blank, P. Exner y M. Havlicek, Operadores espaciales de Hilbert en física cuántica , Instituto Americano de Física, 1994.
- M. Reed y B. Simon, Métodos de Física Matemática Moderna I: Análisis Funcional , Academic Press, 1972.
- Zhu, Kehe (2007), Teoría del operador en espacios funcionales , Estudios matemáticos y monografías, Vol. 138, Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 978-0-8218-3965-2
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