En matemáticas , una matriz de Cauchy , llamada así por Augustin Louis Cauchy , es una matriz m × n con elementos a ij en la forma
dónde y son elementos de un campo , y y son secuencias inyectivas (contienen elementos distintos ).
La matriz de Hilbert es un caso especial de la matriz de Cauchy, donde
Cada submatriz de una matriz de Cauchy es en sí misma una matriz de Cauchy.
Determinantes de Cauchy
El determinante de una matriz de Cauchy es claramente una fracción racional en los parámetros y . Si las secuencias no fueran inyectivas, el determinante se desvanecería y tiende al infinito si alguna tiende a . Por tanto, se conoce un subconjunto de sus polos y ceros. El caso es que ya no hay polos ni ceros:
El determinante de una matriz cuadrada de Cauchy A se conoce como determinante de Cauchy y se puede dar explícitamente como
- (Schechter 1959, ecuación 4; Cauchy 1841, p. 154, ecuación 10).
Siempre es distinto de cero y, por tanto, todas las matrices de Cauchy cuadradas son invertibles . La inversa A −1 = B = [b ij ] está dada por
- (Schechter 1959, Teorema 1)
donde A i (x) y B i (x) son los polinomios de Lagrange para y , respectivamente. Es decir,
con
Generalización
Una matriz C se llama similar a Cauchy si tiene la forma
Definiendo X = diag (x i ), Y = diag (y i ), se ve que tanto las matrices de Cauchy como las de tipo Cauchy satisfacen la ecuación de desplazamiento
(con para el de Cauchy). Por lo tanto, las matrices similares a Cauchy tienen una estructura de desplazamiento común , que se puede aprovechar mientras se trabaja con la matriz. Por ejemplo, existen algoritmos conocidos en la literatura para
- multiplicación aproximada matriz-vector de Cauchy con operaciones (por ejemplo, el método rápido multipolar ),
- ( pivotado ) factorización LU con ops (algoritmo GKO) y, por lo tanto, la resolución de sistemas lineales,
- algoritmos aproximados o inestables para la resolución de sistemas lineales en .
Aquí denota el tamaño de la matriz (normalmente se trata de matrices cuadradas, aunque todos los algoritmos se pueden generalizar fácilmente a matrices rectangulares).
Ver también
Referencias
- Cauchy, Augustin Louis (1841). Exercices d'analyse et de physique mathématique. Vol. 2 (en francés). Soltero.
- A. Gerasoulis (1988). "Un algoritmo rápido para la multiplicación de matrices de Hilbert generalizadas con vectores" (PDF) . Matemáticas de la Computación . 50 (181): 179–188. doi : 10.2307 / 2007921 . JSTOR 2007921 .
- I. Gohberg; T. Kailath; V. Olshevsky (1995). "Eliminación gaussiana rápida con pivoteo parcial para matrices con estructura de desplazamiento" (PDF) . Matemáticas de la Computación . 64 (212): 1557-1576. Código Bibliográfico : 1995MaCom..64.1557G . doi : 10.1090 / s0025-5718-1995-1312096-x .
- PG Martinsson; M. Tygert; V. Rokhlin (2005). "Unalgoritmo para la inversión de matrices de Toeplitz generales " (PDF) . Computers & Mathematics with Applications . 50 (5–6): 741–752. doi : 10.1016 / j.camwa.2005.03.011 .
- S. Schechter (1959). "Sobre la inversión de determinadas matrices" (PDF) . Tablas matemáticas y otras ayudas a la computación . 13 (66): 73–77. doi : 10.2307 / 2001955 . JSTOR 2001955 .