En álgebra lineal , una matriz de Hilbert , introducida por Hilbert ( 1894 ), es una matriz cuadrada cuyas entradas son las fracciones unitarias.
Por ejemplo, esta es la matriz de Hilbert de 5 × 5:
La matriz de Hilbert puede considerarse derivada de la integral
es decir, como una matriz de Gramian para potencias de x . Surge en la aproximación de mínimos cuadrados de funciones arbitrarias por polinomios .
Las matrices de Hilbert son ejemplos canónicos de matrices mal condicionadas , siendo notoriamente difíciles de usar en el cálculo numérico. Por ejemplo, el número de condición de 2 normas de la matriz anterior es aproximadamente 4,8 × 10 5 .
Nota histórica
Hilbert (1894) introdujo la matriz de Hilbert para estudiar la siguiente pregunta en teoría de aproximación : "Suponga que I = [ a , b ] , es un intervalo real. ¿Es posible entonces encontrar un polinomio P distinto de cero con coeficientes integrales, que la integral
es más pequeño que cualquier límite dado ε > 0, tomado arbitrariamente pequeño? "Para responder a esta pregunta, Hilbert deriva una fórmula exacta para el determinante de las matrices de Hilbert e investiga sus asintóticas. Concluye que la respuesta a su pregunta es positiva si la longitud b - a del intervalo es menor que 4.
Propiedades
La matriz de Hilbert es simétrica y definida positiva . La matriz de Hilbert también es totalmente positiva (lo que significa que el determinante de cada submatriz es positivo).
La matriz de Hilbert es un ejemplo de matriz de Hankel . También es un ejemplo específico de una matriz de Cauchy .
El determinante se puede expresar en forma cerrada , como un caso especial del determinante de Cauchy . El determinante de la matriz de Hilbert n × n es
dónde
Hilbert ya mencionó el hecho curioso de que el determinante de la matriz de Hilbert es el recíproco de un entero (ver secuencia OEIS : A005249 en la OEIS ), que también se sigue de la identidad
Usando la aproximación de Stirling del factorial , se puede establecer el siguiente resultado asintótico:
donde una n converge a la constante como , donde A es la constante Glaisher-Kinkelin .
La inversa de la matriz de Hilbert se puede expresar en forma cerrada usando coeficientes binomiales ; sus entradas son
donde n es el orden de la matriz. [1] Se deduce que las entradas de la matriz inversa son todas enteras y que los signos forman un patrón de tablero de ajedrez, siendo positivo en la diagonal principal . Por ejemplo,
El número de condición de la matriz de Hilbert n × n crece a medida que.
Aplicaciones
El método de momentos aplicado a distribuciones polinómicas da como resultado una matriz de Hankel , que en el caso especial de aproximar una distribución de probabilidad en el intervalo [0,1] da como resultado una matriz de Hilbert. Esta matriz debe invertirse para obtener los parámetros de peso de la aproximación de la distribución polinomial. [2]
Referencias
- ^ Choi, Man-Duen (1983). "Trucos o tratos con la matriz de Hilbert". The American Mathematical Monthly . 90 (5): 301–312. doi : 10.2307 / 2975779 . JSTOR 2975779 .
- ^ J. Munkhammar, L. Mattsson, J. Rydén (2017) "Estimación de distribución de probabilidad polinomial utilizando el método de momentos". PLoS ONE 12 (4): e0174573. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0174573
Otras lecturas
- Hilbert, David (1894), "Ein Beitrag zur Theorie des Legendre'schen Polynoms", Acta Mathematica , 18 : 155-159, doi : 10.1007 / BF02418278 , ISSN 0001-5962 , JFM 25.0817.02. Reimpreso en Hilbert, David. "artículo 21". Papeles recolectados . II .
- Beckermann, Bernhard (2000). "El número de condición de las matrices reales de Vandermonde, Krylov y de Hankel definidas positivas". Numerische Mathematik . 85 (4): 553–577. CiteSeerX 10.1.1.23.5979 . doi : 10.1007 / PL00005392 .
- Choi, M.-D. (1983). "Trucos o golosinas con la matriz de Hilbert". American Mathematical Monthly . 90 (5): 301–312. doi : 10.2307 / 2975779 . JSTOR 2975779 .
- Todd, John (1954). "El número de condición del segmento finito de la matriz de Hilbert". Oficina Nacional de Estándares, Serie de Matemáticas Aplicadas . 39 : 109-116.
- Wilf, HS (1970). Secciones finitas de algunas desigualdades clásicas . Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-540-04809-1.