En matemáticas , el plano de Cayley (o plano proyectivo octoniónico ) P 2 ( O ) es un plano proyectivo sobre los octoniones . [1] Fue descubierto en 1933 por Ruth Moufang , y lleva el nombre de Arthur Cayley (por su artículo de 1845 que describe los octoniones).
Más precisamente, hay dos objetos llamados planos Cayley, a saber, el plano Cayley real y el complejo. El plano de Cayley real es el espacio simétrico F 4 / Spin (9), donde F 4 es una forma compacta de un grupo de Lie excepcional y Spin (9) es el grupo de spin del espacio euclidiano de nueve dimensiones (realizado en F 4 ). Admite una descomposición celular en tres celdas, de dimensiones 0, 8 y 16. [2]
El plano de Cayley complejo es un espacio homogéneo bajo una forma no compacta (tipo adjunto) del grupo E 6 por un subgrupo parabólico P 1 . Es la órbita cerrada en la proyectivización de la representación mínima de E 6 . El plano de Cayley complejo consta de dos órbitas F 4 : la órbita cerrada es un cociente de F 4 por un subgrupo parabólico, la órbita abierta es el plano Cayley real. [3]
Propiedades
En el plano de Cayley se pueden definir líneas y puntos de forma natural para que se convierta en un espacio proyectivo bidimensional , es decir, un plano proyectivo . Es un plano no desarguesiano , donde el teorema de Desargues no es válido.
Ver también
Notas
Referencias
- Báez, John C. (2002). "Los Octonions" . Boletín de la American Mathematical Society . 39 (2): 145-205. arXiv : matemáticas / 0105155 . doi : 10.1090 / S0273-0979-01-00934-X . ISSN 0273-0979 . Señor 1886087 .
- Iliev, A .; Manivel, L. (2005). "El anillo de Chow del avión Cayley". Compositio Mathematica . 141 : 146. arXiv : math / 0306329 . doi : 10.1112 / S0010437X04000788 .
- Ahiezer, D. (1983). "Terminaciones equivariantes de variedades algebraicas homogéneas por divisores homogéneos". Annals of Global Analysis and Geometry . 1 : 49–78. doi : 10.1007 / BF02329739 .
- Báez, John C. (2005). "Errata de los octonions " (PDF) . Boletín de la American Mathematical Society . 42 (2): 213–213. doi : 10.1090 / S0273-0979-05-01052-9 .
- McTague, Carl (2014). "El avión Cayley y el bordismo de cuerdas". Geometría y topología . 18 (4): 2045-2078. arXiv : 1111.4520 . doi : 10.2140 / gt.2014.18.2045 . Señor 3268773 . Zbl 1323.55007 .
- Helmut Salzmann y col. "Planos proyectivos compactos. Con una introducción a la geometría del octonión"; de Gruyter Expositions in Mathematics, 21. Walter de Gruyter & Co., Berlín, 1995. xiv + 688 pp. ISBN 3-11-011480-1