En matemáticas, un plano no desarguesiano es un plano proyectivo que no satisface el teorema de Desargues (llamado así por Girard Desargues ), o en otras palabras, un plano que no es un plano desarguesiano . El teorema de Desargues es cierto en todos los espacios proyectivos de dimensión no 2; [1] en otras palabras, los únicos espacios proyectivos de dimensión no igual a 2 son las geometrías proyectivas clásicas sobre un campo (o anillo de división ). Sin embargo, David Hilbert descubrió que algunos planos proyectivos no lo satisfacen. [2] [3]El estado actual de conocimiento de estos ejemplos no está completo. [4]
Ejemplos de
Hay muchos ejemplos de planos no desarguesianos tanto finitos como infinitos. Algunos de los ejemplos conocidos de infinitos planos no desarguesianos incluyen:
- El avión de Moulton .
- Planos de mufang sobre anillos de división alternativos que no son asociativos, como el plano proyectivo sobre los octoniones . Dado que todos los anillos de división alternativas finitos son campos ( Artin-Zorn teorema ), el único planos no Desarguesian Moufang son infinitas.
Con respecto a los planos finitos no desarguesianos, cada plano proyectivo de orden a lo sumo 8 es desarguesiano, pero hay tres ejemplos no desarguesianos de orden 9, cada uno con 91 puntos y 91 líneas. [5] Ellos son:
- El plano de Hughes de orden 9.
- El plano Hall de orden 9 . Inicialmente descubierto por Veblen y Wedderburn , este avión fue generalizado como una familia infinita de aviones por Marshall Hall . Los planos Hall son una subclase de los planos André más generales .
- El dual del plano Hall de orden 9.
Se conocen muchas otras construcciones de planos no desarguesianos, tanto finitos como infinitos, véase, por ejemplo, Dembowski (1968) . Todas las construcciones conocidas de planos finitos no desarguesianos producen planos cuyo orden es una potencia prima propia, es decir, un número entero de la forma p e , donde p es un primo ye es un número entero mayor que 1.
Clasificación
Hanfried Lenz dio un esquema de clasificación para planos proyectivos en 1954 [6] y esto fue refinado por Adriano Barlotti en 1957. [7] Este esquema de clasificación se basa en los tipos de transitividad punto-línea permitidos por el grupo de colineación del plano y es conocida como la clasificación de Lenz-Barlotti de planos proyectivos . La lista de 53 tipos se da en Dembowski (1968 , pp.124-5) y una tabla de los resultados de existencia conocidos en ese momento (tanto para los grupos de colineación como para los planos que tienen tal grupo de colineación) en los casos finito e infinito aparece en la página 126. En 2007, "36 de ellos existen como grupos finitos. Entre 7 y 12 existen como planos proyectivos finitos, y 14 o 15 existen como planos proyectivos infinitos". [4]
Existen otros esquemas de clasificación. Uno de los más simples se basa en el tipo de anillo ternario plano (PTR) que se puede utilizar para coordinar el plano proyectivo. Los tipos son campos , skewfields , anillos de división alternativos , semifields , nearfields , right nearfields , cuasifields y cuasifields derechos . [8]
Cónicas y óvalos
En un plano proyectivo desarguesiano, una cónica se puede definir de varias formas diferentes que pueden demostrarse como equivalentes. En planos no desarguesianos estas demostraciones ya no son válidas y las diferentes definiciones pueden dar lugar a objetos no equivalentes. [9] Theodore G. Ostrom había sugerido el nombre conicoide para estas figuras cónicas, pero no proporcionó una definición formal y el término no parece ser de uso generalizado. [10]
Hay varias formas en que las cónicas se pueden definir en planos desarguesianos:
- El conjunto de puntos absolutos de una polaridad se conoce como cónica de von Staudt . Si el plano se define sobre un campo de característica dos, solo se obtienen cónicas degeneradas .
- El conjunto de puntos de intersección de las líneas correspondientes de dos lápices que están relacionados proyectivamente, pero no en perspectiva, se conoce como cónica de Steiner . Si los lápices están relacionados en perspectiva, la cónica está degenerada.
- El conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación homogénea irreducible de grado dos.
Además, en un plano desarguesiano finito:
- Un conjunto de q + 1 puntos, sin tres colineales en PG (2, q ) se llama óvalo . Si q es impar, según el teorema de Segre , un óvalo en PG (2, q ) es una cónica, en el sentido 3 anterior.
- Una cónica de Ostrom se basa en una generalización de conjuntos armónicos.
Artzy ha dado un ejemplo de una cónica de Steiner en un plano de Moufang que no es una cónica de von Staudt. [11] Garner da un ejemplo de una cónica de von Staudt que no es una cónica de Ostrom en un semiplano finito. [9]
Notas
- ^ El teorema de Desargues es vacuosamente cierto en la dimensión 1; solo es problemático en la dimensión 2.
- ^ Hilbert, David (1950) [publicado por primera vez en 1902], The Foundations of Geometry [Grundlagen der Geometrie] (PDF) , traducción al inglés de EJ Townsend (2ª ed.), La Salle, IL: Open Court Publishing, p. 48
- ^ Hilbert, David (1990) [1971], Foundations of Geometry [Grundlagen der Geometrie] , traducido por Leo Unger de la 10ª edición alemana (2ª ed. Inglesa), La Salle, IL: Open Court Publishing, p. 74, ISBN 0-87548-164-7. Según la nota al pie de esta página, el "primer" ejemplo original que aparece en ediciones anteriores fue reemplazado por el ejemplo más simple de Moulton en ediciones posteriores.
- ↑ a b Weibel , 2007 , pág. 1296
- ^ ver Room & Kirkpatrick 1971 para descripciones de los cuatro planos de orden 9.
- ^ Lenz, Hanfried (1954). "Kleiner desarguesscher Satz und Dualitat in projektiven Ebenen". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 57 : 20–31. Señor 0061844 .
- ^ Barlotti, Adriano (1957). "Le possibili configurazioni del sistema delle coppie punto-retta (A, a) per cui un piano grafico risulta (A, a) -transitivo". Cápsula. Naciones Unidas. Estera. Ital . 12 : 212-226. Señor 0089435 .
- ^ Colbourn y Dinitz 2007 , pág. 723 artículo sobre geometría finita de Leo Storme.
- ^ a b Garner, Cyril W L. (1979), "Cónicas en planos proyectivos finitos", Journal of Geometry , 12 (2): 132-138, doi : 10.1007 / bf01918221 , MR 0525253
- ^ Ostrom, TG (1981), "Conicoides: figuras cónicas en planos no papianos", en Plaumann, Peter; Strambach, Karl (eds.), Geometría - Punto de vista de von Staudt , D. Reidel, págs. 175–196, ISBN 90-277-1283-2, MR 0621316
- ^ Artzy, R. (1971), "The Conic y = x 2 in Moufang Planes", Aequationes Mathematicae , 6 : 30–35, doi : 10.1007 / bf01833234
Referencias
- Albert, A. Adrian; Sandler, Reuben (1968), Introducción a los planos proyectivos finitos , Nueva York: Holt, Rinehart y Winston
- Colbourn, Charles J .; Dinitz, Jeffrey H. (2007), Manual de diseños combinatorios (2a ed.), Boca Raton: Chapman & Hall / CRC, ISBN 1-58488-506-8
- Dembowski, Peter (1968), Geometrías finitas , Berlín: Springer Verlag
- Hall, Marshall (1943), "Planos proyectivos", Transactions of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 54 (2): 229-277, doi : 10.2307 / 1990331 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1990331 , MR 0008892
- Hughes, Daniel R .; Piper, Fred C. (1973), Projective Planes , Nueva York: Springer Verlag, ISBN 0-387-90044-6
- Kárteszi, F. (1976), Introducción a las geometrías finitas , Amsterdam: Holanda Septentrional, ISBN 0-7204-2832-7
- Lüneburg, Heinz (1980), Translation Planes , Berlín: Springer Verlag, ISBN 0-387-09614-0
- Habitación, TG; Kirkpatrick, PB (1971), Miniquaternion Geometry , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-07926-8
- Sidorov, LA (2001) [1994], "Geometría no desarguesiana" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press
- Stevenson, Frederick W. (1972), Planos proyectivos , San Francisco: WH Freeman and Company, ISBN 0-7167-0443-9
- Weibel, Charles (2007), "Estudio de planos no desarguesianos" , Avisos del AMS , 54 (10): 1294–1303