En geometría proyectiva , el teorema de Desargues , llamado así por Girard Desargues , establece:
- Dos triángulos están en perspectiva axialmente si y sólo si ellos están en perspectiva centralmente .
Denotan los tres vértices de un triángulo por una , b y c , y los de la otra por A , B y C . Perspectividad axial significa que las líneas ab y AB se encuentran en un punto, las líneas ac y AC se encuentran en un segundo punto y las líneas bc y BC se encuentran en un tercer punto, y que estos tres puntos se encuentran todos en una línea común llamada eje de la perspectiva. . Perspectivity centrales medios que las tres líneas Aa , Bb y Cc son concurrentes, en un punto llamado el centro de perspectivity .
Este teorema de la intersección es cierto en el plano euclidiano habitual , pero se debe tener especial cuidado en casos excepcionales, como cuando un par de lados son paralelos, de modo que su "punto de intersección" retrocede hasta el infinito. Comúnmente, para eliminar estas excepciones, los matemáticos "completan" el plano euclidiano agregando puntos en el infinito, siguiendo a Jean-Victor Poncelet . Esto da como resultado un plano proyectivo .
El teorema de Desargues es cierto para el plano proyectivo real , para cualquier espacio proyectivo definido aritméticamente a partir de un campo o anillo de división , para cualquier espacio proyectivo de dimensión distinta de dos y para cualquier espacio proyectivo en el que se mantenga el teorema de Pappus . Sin embargo, hay muchos planos en los que el teorema de Desargues es falso.
Historia
Desargues nunca publicó este teorema, pero apareció en un apéndice titulado Método universal de M. Desargues para usar la perspectiva ( Manière universelle de M. Desargues pour practiquer la perspectiva ) a un libro práctico sobre el uso de la perspectiva publicado en 1648 [1] por su amigo y alumno Abraham Bosse (1602-1676). [2]
Espacios proyectivos versus afines
En un espacio afín como el plano euclidiano, una afirmación similar es verdadera, pero solo si se enumeran varias excepciones que involucran líneas paralelas. El teorema de Desargues es, por tanto, uno de los teoremas geométricos más simples cuyo hogar natural está en el espacio proyectivo más que en el afín.
Auto-dualidad
Por definición, dos triángulos son perspectiva si y solo si están en perspectiva centralmente (o, de manera equivalente según este teorema, en perspectiva axialmente). Tenga en cuenta que los triángulos de perspectiva no tienen por qué ser similares .
Bajo la dualidad estándar de la geometría proyectiva plana (donde los puntos corresponden a líneas y la colinealidad de puntos corresponde a concurrencia de líneas), el enunciado del teorema de Desargues es auto-dual: [3] la perspectiva axial se traduce en perspectiva central y viceversa. La configuración de Desargues (abajo) es una configuración auto-dual. [4]
Prueba del teorema de Desargues
El teorema de Desargues es válido para el espacio proyectivo de cualquier dimensión sobre cualquier campo o anillo de división, y también es válido para los espacios proyectivos abstractos de dimensión al menos 3. En la dimensión 2, los planos para los que se cumple se denominan planos desarguesianos y son los mismos que los planos que pueden recibir coordenadas sobre un anillo de división. También hay muchos planos no desarguesianos donde el teorema de Desargues no es válido.
Prueba tridimensional
El teorema de Desargues es cierto para cualquier espacio proyectivo de dimensión al menos 3 y, más generalmente, para cualquier espacio proyectivo que pueda incrustarse en un espacio de dimensión al menos 3.
El teorema de Desargues se puede enunciar de la siguiente manera:
- Si las líneas Aa , Bb y Cc son concurrentes (se encuentran en un punto), entonces
- los puntos AB ∩ ab , AC ∩ ac y BC ∩ bc son colineales .
Los puntos A , B , una y b son coplanares (se encuentran en el mismo plano), debido a la concurrencia supuesta de Aa y Bb . Por lo tanto, las rectas AB y ab pertenecen al mismo plano y deben cruzarse. Además, si los dos triángulos se encuentran en planos diferentes, entonces el punto AB ∩ ab pertenece a ambos planos. Por un argumento simétrico, los puntos AC ∩ ac y BC ∩ bc también existen y pertenecen a los planos de ambos triángulos. Dado que estos dos planos se cruzan en más de un punto, su intersección es una línea que contiene los tres puntos.
Esto prueba el teorema de Desargues si los dos triángulos no están contenidos en el mismo plano. Si están en el mismo plano, el teorema de Desargues se puede demostrar eligiendo un punto que no esté en el plano, usándolo para levantar los triángulos del plano de modo que el argumento anterior funcione y luego proyectar de nuevo en el plano. El último paso de la demostración falla si el espacio proyectivo tiene una dimensión menor que 3, ya que en este caso no es posible encontrar un punto que no esté en el plano.
El teorema de Monge también afirma que tres puntos se encuentran en una línea y tiene una prueba que usa la misma idea de considerarla en tres en lugar de dos dimensiones y escribir la línea como una intersección de dos planos.
Prueba bidimensional
Como hay planos proyectivos no desarguesianos en los que el teorema de Desargues no es cierto, [5] deben cumplirse algunas condiciones adicionales para probarlo. Estas condiciones generalmente toman la forma de asumir la existencia de suficientes colinaciones de un cierto tipo, lo que a su vez conduce a mostrar que el sistema de coordenadas algebraicas subyacente debe ser un anillo de división (skewfield). [6]
Relación con el teorema de Pappus
Teorema del hexágono de Pappus estados que, si un hexágono abcabc se dibuja en una forma tal que los vértices de un , b y c se encuentran en una línea y vértices A , B y C se encuentran en una segunda línea, entonces cada uno de dos lados opuestos del hexágono se encuentran en dos rectas que se encuentran en un punto y los tres puntos así construidos son colineales. Un plano en el que el teorema de Pappus es universalmente cierto se llama Pappian . Hessenberg (1905) [7] mostró que el teorema de Desargues se puede deducir de tres aplicaciones del teorema de Pappus. [8]
Lo contrario de este resultado no es cierto, es decir, no todos los planos desarguesianos son pappianos. Satisfacer el teorema de Pappus universalmente es equivalente a hacer que el sistema de coordenadas subyacente sea conmutativo . Un plano definido sobre un anillo de división no conmutativo (un anillo de división que no es un campo) sería, por tanto, desarguesiano pero no pappiano. Sin embargo, debido al pequeño teorema de Wedderburn , que establece que todos los anillos de división finitos son campos, todos los planos desarguesianos finitos son pappianos. No se conoce una prueba completamente geométrica de este hecho, aunque Bamberg y Penttila (2015) dan una prueba que usa solo hechos algebraicos "elementales" (en lugar de toda la fuerza del pequeño teorema de Wedderburn).
La configuración de Desargues
Las diez líneas involucradas en el teorema de Desargues (seis lados de triángulos, las tres líneas Aa , Bb y Cc , y el eje de la perspectiva) y los diez puntos involucrados (los seis vértices, los tres puntos de intersección en el eje de la perspectiva, y el centro de la perspectiva) están dispuestos de tal manera que cada una de las diez líneas pasa por tres de los diez puntos, y cada uno de los diez puntos se encuentra en tres de las diez líneas. Esos diez puntos y diez líneas componen la configuración de Desargues , un ejemplo de configuración proyectiva . Aunque el teorema de Desargues elige diferentes roles para estas diez líneas y puntos, la configuración de Desargues en sí es más simétrica : cualquiera de los diez puntos puede elegirse para ser el centro de la perspectiva, y esa elección determina qué seis puntos serán los vértices de los triángulos y qué línea será el eje de la perspectividad.
El pequeño teorema de Desargues
Esta versión restringida establece que si dos triángulos son en perspectiva desde un punto en una línea dada, y dos pares de lados correspondientes también se encuentran en esta línea, entonces el tercer par de lados correspondientes también se encuentran en la línea. Por tanto, es la especialización del Teorema de Desargues sólo en los casos en los que el centro de la perspectividad se encuentra en el eje de la perspectividad.
Un plano de Moufang es un plano proyectivo en el que el pequeño teorema de Desargues es válido para todas las líneas.
Ver también
- Teorema de pascal
Notas
- ↑ Smith (1959 , p. 307)
- ↑ Katz (1998 , p. 461)
- ^ Esto se debe a la forma moderna de escribir el teorema. Históricamente, el teorema solo decía: "En un espacio proyectivo, un par de triángulos de perspectiva central es perspectiva axial" y el dual de este enunciado se llamaba el inverso del teorema de Desargues y siempre se lo conocía con ese nombre. Ver ( Coxeter 1964 , pág.19)
- ^ ( Coxeter 1964 ) págs. 26-27.
- ^ Los ejemplos más pequeños de estos se pueden encontrar en Room & Kirkpatrick 1971 .
- ↑ ( Albert y Sandler, 1968 ) , ( Hughes y Piper 1973 ) y ( Stevenson 1972 ).
- ↑ Según ( Dembowski 1968 , pág. 159, nota al pie 1), la demostración original de Hessenberg no está completa; descartó la posibilidad de que pudieran ocurrir algunas incidencias adicionales en la configuración de Desargues. Cronheim 1953 proporciona una prueba completa.
- ^ Coxeter , 1969 , p. 238, sección 14.3
Referencias
- Albert, A. Adrian; Sandler, Reuben (2015) [1968], Introducción a los planos proyectivos finitos , Dover, ISBN 978-0-486-78994-1
- Bamberg, John; Penttila, Tim (2015), "Completando la prueba de Segre del pequeño teorema de Wedderburn" , Boletín de la Sociedad Matemática de Londres , 47 (3): 483–492, doi : 10.1112 / blms / bdv021
- Casse, Rey (2006), Geometría proyectiva: Introducción , Oxford: Oxford University Press , ISBN 0-19-929886-6
- Coxeter, HSM (1964), geometría proyectiva , Blaisdell
- Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introducción a la geometría (2a ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-50458-0, MR 0123930
- Cronheim, Arno (1953), "Una prueba del teorema de Hessenberg", Proceedings of the American Mathematical Society , 4 (2): 219-221, doi : 10.2307 / 2031794 , JSTOR 2031794 , MR 0053531
- Dembowski, Peter (1968), geometrías finitas , Springer Verlag, ISBN 978-3-540-61786-0
- Hessenberg, Gerhard (1905), "Beweis des Desarguesschen Satzes aus dem Pascalschen", Mathematische Annalen , Springer, 61 (2): 161-172, doi : 10.1007 / BF01457558 , ISSN 1432-1807
- Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2ª ed.), Chelsea, págs. 119-128, ISBN 0-8284-1087-9
- Hughes, Dan; Piper, Fred (1973), planos proyectivos , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90044-6
- Kárteszi, Ferenc (1976), Introducción a las geometrías finitas , Holanda Septentrional, ISBN 0-7204-2832-7
- Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics: An Introduction (2a ed.), Reading, Mass .: Addison Wesley Longman, ISBN 0-321-01618-1
- Pambuccian, Victor; Schacht, Celia (2019), "El destino axiomático de los teoremas de Pappus y Desargues", en Dani, SG; Papadopoulos, A. (eds.), Geometry in history , Springer, págs. 355–399, ISBN 978-3-030-13611-6
- Habitación, Thomas G .; Kirkpatrick, PB (1971), Miniquaternion Geometry , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-07926-8
- Smith, David Eugene (1959), A Source Book in Mathematics , Dover, ISBN 0-486-64690-4
- Stevenson, Frederick W. (1972), Planos proyectivos , WH Freeman, ISBN 0-7167-0443-9
- Voitsekhovskii, MI (2001) [1994], "Supuesto de Desargues" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
enlaces externos
- Teorema de Desargues en MathWorld
- Teorema de Desargues en cortar el nudo
- Monge a través de Desargues en cut-the-knot
- Prueba del teorema de Desargues en PlanetMath
- Teorema de Desargues en bocetos de geometría dinámica