En la teoría de los grupos algebraicos , un subgrupo Borel de un grupo algebraico G es un subgrupo algebraico resoluble cerrado y conectado de Zariski máximo . Por ejemplo, en el grupo lineal general GL n ( nxn matrices invertibles), el subgrupo de matrices triangulares superiores invertibles es un subgrupo de Borel.
Para los grupos realizados sobre campos algebraicamente cerrados , existe una sola clase de conjugación de subgrupos de Borel.
Los subgrupos de Borel son uno de los dos ingredientes clave para comprender la estructura de los grupos algebraicos simples (más generalmente, reductivos ), en la teoría de Jacques Tits de los grupos con un par (B, N) . Aquí el grupo B es un subgrupo Borel y N es el normalizador de un torus máximos contenidos en B .
La noción fue introducida por Armand Borel , quien jugó un papel destacado en el desarrollo de la teoría de los grupos algebraicos.
Subgrupos parabólicos
Los subgrupos entre un subgrupo B de Borel y el grupo ambiental G se denominan subgrupos parabólicos . Los subgrupos parabólicos P también se caracterizan, entre los subgrupos algebraicos, por la condición de que G / P es una variedad completa . Trabajando sobre campos algebraicamente cerrados, los subgrupos de Borel resultan ser los subgrupos parabólicos mínimos en este sentido. Así, B es un subgrupo de Borel cuando el espacio homogéneo G / B es una variedad completa que es "lo más grande posible".
Para un grupo algebraico simple G , el conjunto de clases de conjugación de subgrupos parabólicos está en biyección con el conjunto de todos los subconjuntos de nodos del diagrama de Dynkin correspondiente ; el subgrupo Borel corresponde al conjunto vacío y el propio G corresponde al conjunto de todos los nodos. (En general, cada nodo del diagrama de Dynkin determina una raíz negativa simple y, por lo tanto, un 'grupo raíz' unidimensional de G --- un subconjunto de los nodos produce un subgrupo parabólico, generado por B y los correspondientes grupos de raíces negativas. Además, cualquier subgrupo parabólico se conjuga con dicho subgrupo parabólico).
Ejemplo
Dejar . Un subgrupo de Borel de es el conjunto de matrices triangulares superiores
y los subgrupos parabólicos propios máximos de conteniendo están
Además, un toro máximo en es
Esto es isomorfo al toro algebraico. . [1]
Álgebra de mentiras
Para el caso especial de un álgebra de Lie con una subálgebra de Cartan , dado un orden de, la subálgebra de Borel es la suma directa dey los espacios de peso decon peso positivo. Una subálgebra de mentira deque contiene una subálgebra de Borel se llama álgebra de Lie parabólica .
Ver también
Referencias
- Gary Seitz (1991). "Grupos algebraicos". En B. Hartley; et al. (eds.). Grupos finitos y localmente finitos . págs. 45–70.
- J. Humphreys (1972). Grupos algebraicos lineales . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-90108-6.
- A. Borel (2001). Ensayos sobre la historia de los grupos de mentira y los grupos algebraicos . Providence RI: AMS. ISBN 0-8218-0288-7.
- Específico
- ^ Brion, Michel. "Conferencias sobre la geometría de las variedades de bandera" (PDF) .
enlaces externos
- Popov, VL (2001) [1994], "Subgrupo parabólico" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press
- Platonov, VP (2001) [1994], "Subgrupo Borel" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press