complejo Čech

En topología algebraica y análisis de datos topológicos , el complejo Čech es un complejo simplicial abstracto construido a partir de una nube de puntos en cualquier espacio métrico que pretende capturar información topológica sobre la nube de puntos o la distribución de la que se extrae. Dada una nube de puntos X finita y un ε  > 0, construimos el complejo de Čech de la siguiente manera: Tomamos los elementos de X como el conjunto de vértices de . Entonces, para cada , sea si el conjunto de ε -bolas centradas en los puntos de σ tiene una intersección no vacía${\displaystyle {\check {C}}_{\varepsilon}(X)}$${\displaystyle {\check {C}}_{\varepsilon}(X)}$${\ estilo de visualización \ sigma \ subconjunto X}$${\displaystyle \sigma \in {\check {C}}_{\varepsilon}(X)}$ . En otras palabras, el complejo de Čech es el nervio del conjunto de ε -bolas centradas en puntos de X . Por el nervio lema , el complejo de Čech es una homotopía equivalente a la unión de las bolas. ^[1]

El complejo Čech es un subcomplejo del complejo Vietoris-Rips . Si bien el complejo de Čech es más costoso computacionalmente que el complejo de Vietoris-Rips, ya que debemos verificar las intersecciones de mayor orden de las bolas en el complejo, el teorema del nervio proporciona una garantía de que el complejo de Čech es homotopía equivalente a la unión de las bolas en el complejo. complejo. El complejo Vietoris-Rips puede no serlo. ^[1]

construir el complejo de Čech de un conjunto de puntos muestreados de un círculo