Trocoide centrado

En geometría , una trocoide centrada es la ruleta formada por un círculo que rueda a lo largo de otro círculo. Es decir, es la trayectoria que traza un punto unido a una circunferencia mientras la circunferencia rueda sin deslizarse por una circunferencia fija. El término abarca tanto epitrocoide como hipotrocoide . El centro de esta curva se define como el centro del círculo fijo.

Alternativamente, una trocoide centrada puede definirse como la trayectoria trazada por la suma de dos vectores, cada uno moviéndose a una velocidad uniforme en un círculo. En concreto, una trocoide centrada es una curva que se puede parametrizar en el plano complejo mediante

Si es racional entonces la curva es cerrada y algebraica. De lo contrario, la curva gira alrededor del origen un número infinito de veces y es densa en el anillo con radio exterior y radio interior .${\displaystyle \omega _{1}/\omega _{2}}$${\ estilo de visualización |r_{1}|+|r_{2}|}$${\ estilo de visualización ||r_{1}|-|r_{2}||}$

La mayoría de los autores usan epitrocoide para referirse a una ruleta de un círculo que gira alrededor del exterior de otro círculo, hipotrocoide para referirse a una ruleta de un círculo que gira alrededor del interior de otro círculo y trocoide para referirse a una ruleta de un círculo que gira a lo largo de una línea. Sin embargo, algunos autores (por ejemplo [1] siguiendo a F. Morley ) usan "trocoide" para referirse a una ruleta de un círculo que rueda a lo largo de otro círculo, aunque esto es inconsistente con la terminología más común. El término trocoide centrado adoptado por [2] combina epitrocoide e hipotrocoideen un solo concepto para agilizar la exposición matemática y se mantiene consistente con el estándar existente.

El término curva trocoidal describe epitrocoides, hipotrocoides y trocoides (ver [3] ). Una curva trocoidal se puede definir como la trayectoria trazada por la suma de dos vectores, cada uno moviéndose a una velocidad uniforme en un círculo o en una línea recta (pero no ambos moviéndose en una línea).

En las ecuaciones paramétricas dadas anteriormente, la curva es una epitrocoide si y tienen el mismo signo, y una hipotrocoide si tienen signos opuestos.${\ estilo de visualización \ omega _ {1}}$${\ estilo de visualización \ omega _ {2}}$

Una epitrocoide (roja) con radio de círculo fijo R = 3, radio de círculo rodante r = 1 y distancia d = 1/2 desde el centro del círculo rodante hasta el punto de generación

Una hipotrocoide (roja) con R = 5, r = 3, d = 5