Ceyuan haijing ( chino simplificado :测 圆 海 镜; chino tradicional :測 圓 海 鏡; pinyin : cè yuán hǎi jìng ; lit. 'espejo marino de medidas circulares') es un tratado sobre la resolución de problemas de geometría con el álgebra de Tian yuan shu escrito por el matemático Li Zhi en 1248 en la época del Imperio Mongol. Es una colección de 692 fórmulas y 170 problemas, todos derivados del mismo diagrama maestro de una ciudad redonda inscrita en un triángulo rectángulo y un cuadrado. A menudo involucran a dos personas que caminan en línea recta hasta que pueden verse, encontrarse o alcanzar un árbol o pagoda en un lugar determinado. Es un libro de geometría algebraica, el propósito del libro es estudiar intrincadas relaciones geométricas por medio del álgebra.
La mayoría de los problemas de geometría se resuelven mediante ecuaciones polinómicas, que se representan utilizando un método llamado tian yuan shu , "método de matriz de coeficientes" o literalmente "método de lo desconocido celeste". Li Zhi es la fuente existente más antigua de este método, aunque se conocía antes que él de alguna forma. Es un sistema posicional de numerales de varillas para representar ecuaciones polinómicas .
Ceyuan haijing fue introducido por primera vez en el oeste por el misionero cristiano protestante británico en China, Alexander Wylie en su libro Notes on Chinese Literature , 1902. Escribió:
La primera página tiene un diagrama de un círculo contenido en un triángulo, que está diseccionado en 15 figuras; A continuación, se dan la definición y las proporciones de las distintas partes, y siguen 170 problemas, en los que se considera ventajoso el principio de la nueva ciencia. Hay una exposición y un escolio del autor. [1]
Este tratado consta de 12 volúmenes.
Volúmen 1
Diagrama de una ciudad redonda
La monografía comienza con un diagrama maestro llamado Diagrama de Round Town (圆 城 图 式). Muestra un círculo inscrito en un triángulo de ángulo recto y cuatro líneas horizontales, cuatro líneas verticales.
- TLQ, el gran triángulo rectángulo, con línea horizontal LQ, línea vertical TQ e hipotenusa TL
C: Centro del círculo:
- NCS: Una línea vertical que pasa por C, interseca el círculo y la línea LQ en N (南 lado norte de la muralla de la ciudad), interseca el lado sur del círculo en S (南).
- NCSR, extensión de la línea NCS para intersecar la hipotenusa TL en R (日)
- WCE: una línea horizontal que pasa el centro C, interseca el círculo y la línea TQ en W (西, lado oeste de la muralla de la ciudad) y el círculo en E (东, lado este de la muralla de la ciudad).
- WCEB: extensión de la línea WCE para intersecar la hipotenusa en B (川)
- KSYV: una tangente horizontal en S, interseca la recta TQ en K (坤), la hipotenusa TL en Y (月).
- HEMV: tangente vertical del círculo en el punto E, interseca la línea LQ en H, hipotenusa en M (山, montaña)
- HSYY, KSYV, HNQ, QSK forman un cuadrado, con el círculo inscrito C.
- La línea YS, la línea vertical desde Y se cruza con la línea LQ en S (泉, resorte)
- La línea BJ, línea vertical desde el punto B, interseca la línea LQ en J (夕, noche)
- RD, una línea horizontal desde R, interseca la línea TQ en D (旦, día)
Las direcciones Norte, Sur, Este y Oeste en el diagrama de Li Zhi son opuestas a nuestra convención actual.
Triángulos y sus lados
Hay un total de quince triángulos de ángulo recto formados por la intersección entre el triángulo TLQ, las cuatro líneas horizontales y las cuatro líneas verticales.
Los nombres de estos triángulos en ángulo recto y sus lados se resumen en la siguiente tabla
Número | Nombre | Vértices | Hipotenusa | cVertical | bHorizontal | a
---|---|---|---|---|---|
1 | 通 PINZA | 天地 乾 | 通 弦 (TL 天地) | 通 股 (TQ 天乾) | 通 勾 (LQ 地 乾) |
2 | 边 BIAN | 天 西川 | 边 弦 (TB 天 川) | 边 股 (TW 天 西) | 边 勾 (WB 西川) |
3 | 底 DI | 日 地 北 | 底 弦 (RL 日 地) | 底 股 (RN 日 北) | 底 勾 (LB 地 北) |
4 | 黄 广 HUANGGUANG | 天山 金 | 黄 广 弦 (TM 天山) | 黄 广 股 (TJ 天 金) | 黄 广 勾 (MJ 山金) |
5 | 黄 长 HUANGCHANG | 月 地 泉 | 黄 长 弦 (YL 月 地) | 黄 长 股 (YS 月 泉) | 黄 长 勾 (LS 地 泉) |
6 | 上 高 SHANGGAO | 天日 旦 | 上 高 弦 (TR 天日) | 上 高 股 (TD 天 旦) | 上 高 勾 (RD 日 旦) |
7 | 下 高 XIAGAO | 日 山 朱 | 下 高 弦 (RM 日 山) | 下 高 股 (RZ 日 朱) | 下 高 勾 (MZ 山 朱) |
8 | 上 平 CAMBIAR | 月 川 青 | 上 平 弦 (YS 月 川) | 上 平 股 (YG 月 青) | 上 平 勾 (SG 川 青) |
9 | 下 平 XIAPING | 川 地 夕 | 下 平 弦 (BL 川 地) | 下 平 股 (BJ 川 夕) | 下 平 勾 (LJ 地 夕) |
10 | 大 差 DACHA | 天 月 坤 | 大 差 弦 (TY 天 月) | 大 差 股 (TK 天 坤) | 大 差 勾 (YK 月 坤) |
11 | 小 差 XIAOCHA | 山地 艮 | 小 差 弦 (ML 山地) | 小 差 股 (MH 山 艮) | 小 差 勾 (LH 地 艮) |
12 | 皇 极 HUANGJI | 日 川 心 | 皇 极 弦 (RS 日 川) | 皇 极 股 (RC 日 心) | 皇 极 勾 (SC 川 心) |
13 | 太虚 TAIXU | 月 山 泛 | 太虚 弦 (YM 月 山) | 太虚 股 (YF 月 泛) | 太虚 勾 (MF 山 泛) |
14 | 明 MING | 日月 南 | 明 弦 (RY 日月) | 明 股 (RS 日南) | 明 勾 (YS 月 南) |
15 | 叀 ZHUAN | 山川 东 | 叀 弦 (MS 山川) | 叀 股 (YO 山东) | 叀 勾 (SE 川东) |
En los problemas del Vol. 2 al Vol. 12, los nombres de estos triángulos se usan en términos muy concisos. Por ejemplo
- "明 差", "diferencia MING" se refiere a la "diferencia entre el lado vertical y el lado horizontal del triángulo MING".
- "叀 差", "diferencia ZHUANG" se refiere a la "diferencia entre el lado vertical y el lado horizontal del triángulo ZHUANG".
- "明 差 叀 差 并" significa "la suma de la diferencia MING y la diferencia ZHUAN"
Longitud de los segmentos de línea
Esta sección (今 问 正 数) enumera la longitud de los segmentos de línea, la suma y la diferencia y sus combinaciones en el diagrama de la ciudad redonda, dado que el radio r del círculo inscrito es pasos ,.
Los 13 segmentos del i-ésimo triángulo (i = 1 a 15) son:
- Hipotenus
- Horizontal
- Vertical
- : 勾股 和: suma de horizontal y vertical
- : 勾股 校: diferencia de vertical y horizontal
- : 勾 弦 和: suma de horizontal e hipotenusa
- : 勾 弦 校: diferencia de hipotenusa y horizontal
- : 股 弦 和: suma de hipotenusa y vertical
- : 股 弦 校: diferencia de hipotenusa y vertical
- : 弦 校 和: suma de la diferencia y la hipotenusa
- : 弦 校 校: diferencia de la hipotenusa y la diferencia
- : 弦 和 和: suma la hipotenusa y la suma de vertical y horizontal
- : 弦 和 校: diferencia de la suma de horizontal y vertical con la hipotenusa
Entre los quince triángulos en ángulo recto, hay dos conjuntos de triángulos idénticos:
- = ,
- =
es decir
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
Números de segmento
Hay 15 x 13 = 195 términos, sus valores se muestran en la Tabla 1: [2]
Definiciones y fórmula
Fórmula miscelánea
- = *
- =
- =
- =
- =
- =
- =
- =
- =
- = =
Las cinco sumas y las cinco diferencias
Li Zhi obtuvo un total de 692 fórmulas en Ceyuan haijing. Ocho de las fórmulas son incorrectas, el resto son correctas [5]
Desde el vol. 2 al vol. 12, hay 170 problemas, cada uno de los cuales utiliza unos pocos seleccionados de estas fórmulas para formar ecuaciones polinomiales de 2º a 6º orden. De hecho, hay 21 problemas que producen una ecuación polinomial de tercer orden, 13 problemas que producen una ecuación polinomial de cuarto orden y un problema que produce un polinomio de sexto orden [6]
Volumen 2
Este volumen comienza con una hipótesis general [7]
Suponga que hay una ciudad redonda, de diámetro desconocido. Esta ciudad tiene cuatro puertas, hay dos carreteras de dirección WE y dos carreteras de dirección NS fuera de las puertas que forman un cuadrado que rodea la ciudad redonda. La esquina NO del cuadrado es el punto Q, la esquina NE es el punto H, la esquina SE es el punto V, la esquina SO es K. Todos los diversos problemas de levantamiento se describen en este volumen y en los siguientes. |
Todos los 170 problemas subsiguientes tratan sobre varios segmentos dados, o su suma o diferencia, para encontrar el radio o diámetro de la ciudad redonda. Todos los problemas siguen más o menos el mismo formato; comienza con una Pregunta, seguida de una descripción del algoritmo, seguida ocasionalmente de una descripción paso a paso del procedimiento.
- Nueve tipos de círculo inscrito
Los primeros diez problemas se resolvieron sin el uso de Tian yuan shu. Estos problemas están relacionados con varios tipos de círculos inscritos.
- Pregunta 1
- Dos hombres A y B parten de la esquina Q. A camina hacia el este 320 pasos y se detiene. B camina 600 pasos hacia el sur y ve B. ¿Cuál es el diámetro de la ciudad circular?
- Respuesta: el diámetro de la ciudad redonda es de 240 pasos.
- Este es un problema de círculo inscrito asociado con
- Algoritmo:
- Pregunta 2
- Dos hombres A y B parten de la puerta oeste. B camina hacia el este 256 pasos, A camina hacia el sur 480 pasos y ve a B. ¿Cuál es el diámetro de la ciudad?
- Responde 240 pasos
- Este es un problema de círculo inscrito asociado con
- De la Tabla 1, 256 = ; 480 =
- Algoritmo:
- Pregunta 3
- Problema de círculo inscrito asociado con
- Pregunta 4: problema de círculo inscrito asociado con
- Pregunta 5: problema de círculo inscrito asociado con
- Pregunta 6
- Pregunta 7
- Pregunta 8
- Pregunta 9
- Pregunta 10
Tian yuan shu
- Desde el problema 14 en adelante, Li Zhi introdujo "Tian yuan uno" como variable desconocida y estableció dos expresiones de acuerdo con la definición de la sección y la fórmula , luego equiparó estas dos expresiones de tian yuan shu. Luego resolvió el problema y obtuvo la respuesta.
- Pregunta 14: "Supongamos que un hombre sale de la puerta oeste y se dirige al sur por 480 pasos y se encuentra con un árbol. Luego sale por la puerta norte y se dirige al este durante 200 pasos y ve el mismo árbol. ¿Cuál es el radio de la ronda? ? "。
- Algoritmo: configure el radio como uno de Tian yuan, coloque las varillas de conteo que representan 480 pasos hacia el sur en el piso, reste el radio de Tian yuan para obtener
:
- 元
- 。
Luego reste tian yuan de los pasos hacia el este 200 para obtener:
- 元
- multiplica estas dos expresiones para obtener:
- 元
- 元
es decir
por lo tanto:
- 元
Resuelve la ecuación y obtén
Volumen 3
- 17 problemas asociados con el segmento es decir, TW en [8]
La pares con , pares con y pares con en problemas con el mismo número de volumen 4. En otras palabras, por ejemplo, cambie del problema 2 en el volumen 3 en lo convierte en el problema 2 del Vol. 4. [9]
Problema # | DADO | X | Ecuación |
---|---|---|---|
1 | , | cálculo directo sin tian yuan | |
2 | , | D | |
3 | , | r | |
4 | , | D | |
5 | , | D | |
6 | , | r | |
7 | , | r | |
8 | , | r | |
9 | , | r | |
10 | , | r | |
11 | , | r | |
12 | , | ||
13 | , | ||
14 | , | ||
15 | , | r | |
dieciséis | , | calcular con fórmula para círculo inscrito | |
17 | , | Calcular con fórmula para círculo inscrito |
Volumen 4
- 17 problemas, dado y un segundo segmento, encuentre el diámetro de la ciudad circular. [10]
。
Q | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | dieciséis | 17 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
segmento de segunda línea |
Volumen 5
18 problemas, dado。[10]
Q | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | dieciséis | 17 | 18 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
segmento de segunda línea |
Volumen 6
18 problemas.
- Q1-11, 13-19 dado , Y un segundo segmento de línea, encuentre el diámetro d. [10]
- Q12: dado y otro segmento de línea, encuentre el diámetro d.
Q | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | dieciséis | 17 | 18 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Dado | |||||||||||||||||||
Segmento de segunda línea |
Volumen 7
18 problemas, dados dos segmentos de recta calcule el diámetro de la ciudad redonda [11]
Q | Dado |
---|---|
1 | , |
2 | , |
3 | , |
4 | , |
5 | , |
6 | , |
7 | , |
8 | , |
9 | , |
10 | , |
11 | , |
12 | , |
13 | , |
14 | ,, |
15 | , |
dieciséis | , |
17 | , |
18 | , |
Volumen 8
17 problemas, dados de tres a ocho segmentos o su suma o diferencia, hallan el diámetro de la ciudad redonda. [12]
Q | Dado |
---|---|
1 | ,, |
2 | ,, |
3 | , |
4 | , |
5 | , |
6 | , |
7 | , |
8 | , |
9 | , |
10 | ,, |
11 | ,, |
12 | , |
13 | ,, |
14 | , |
15 | , |
dieciséis | , |
Problema 14
- Dada la suma de la diferencia GAO y la diferencia MING es 161 pasos y la suma de la diferencia MING y la diferencia ZHUAN es 77 pasos. ¿Cuál es el diámetro de la ciudad redonda?
- Respuesta: 120 pasos.
Algoritmo: [13]
Dado
: Suma estos dos elementos y divídelos por 2; de acuerdo con #Definiciones y fórmula , esto equivale a la diferencia HUANGJI:
- Deje que Tian yuan uno como horizontal de SHANGPING (SG):
- =
- (# Definición y fórmula)
- Desde (Definición y fórmula)
- (diámetro de la ciudad redonda),
- Ahora, multiplique la longitud de RZ por
- multiplícalo por el cuadrado de RS:
- equiparar las expresiones de los dos
- por lo tanto
- Obtenemos:
- lo solucionamos y obtenemos ;
Esto coincide con la horizontal del octavo triángulo SHANGPING en los números de #Segmento . [14]
Volumen 9
- Parte I
Problemas | dado |
---|---|
1 | , |
2 | , |
3 | , |
4 | , |
- Parte II
Problemas | dado |
---|---|
1 | ,, |
2 | ,, |
3 | ,, |
4 | ,, |
5 | ,, |
6 | ,, |
7 | ,, |
8 | ,, |
Volumen 10
8 problemas [15]
Problema | Dado |
---|---|
1 | , |
2 | , |
3 | , |
4 | , |
5 | , |
6 | , |
7 | , |
8 | , |
Volumen 11
: Varios 18 problemas :[16]
Q | DADO |
---|---|
1 | , |
2 | , |
3 | , |
4 | , |
5 | , |
6 | , |
7 | , |
8 | , |
9 | , |
10 | , |
11 | , |
12 | , |
13 | ,, |
14 | , |
15 | , |
dieciséis | , |
17 | Del libro Dongyuan jiurong |
18 | De Dongyuan jiurong |
Volumen 12
14 problemas de fracciones [17]
Problema | dado |
---|---|
1 | ,= |
2 | ,= |
3 | , |
4 | , |
5 | , |
6 | ,, |
7 | ,, |
8 | ,, |
9 | , |
10 | , |
11 | ,, |
12 | ,, |
13 | ,,, |
14 | ,,,, |
Investigar
En 1913, el matemático francés L. van Hoe escribió un artículo sobre Ceyuan haijing. En 1982, K. Chemla tesis doctoral Etude du Livre Reflects des Mesuers du Cercle sur la mer de Li Ye. 1983, Profesor de Matemáticas de la Universidad de Singapur Lam Lay Yong: Ecuaciones polinómicas chinas en el siglo XIII。
Notas al pie
- ↑ Alexander Wylie, Notes on Chinese Literature , Shanghai, p116, reimpreso por Kessinger Publishing
- ^ Compilado de Kong Guoping p 62-66
- ^ Bai Shangshu p24-25.
- ^ Wu Wenjun Capítulo II p80
- ^ Bai Shangshu, p3, Prefacio
- ↑ Wu Wenjun, p87
- ↑ Bai Shangshou, p153-154
- ↑ Li Yan p75-88
- ↑ Martzloff, p147
- ^ a b c Li Yan p88-101
- ^ Kong Guoping p169-184
- ^ Kong Guoping p192-208
- ↑ Bai Shangshu, p562-566
- ^ Nota al pie : En el problema 14 del Vol.8, Li Zhi se detiene en x = 64. Sin embargo, la respuesta es evidente, a partir del formulario No 8 en la fórmula # Miscelánea :, y de #Length of Line Segments, por lo tanto , el radio de la ciudad redonda se puede obtener fácilmente. De hecho, el problema 6 del vol. 11 es precisamente una cuestión dey, para encontrar el radio de la ciudad redonda.
- ^ Kong Guoping p220-224
- ^ Kong Guoping p234-248
- ^ P255-263
Referencias
- Jean-Claude Martzloff, Una historia de las matemáticas chinas , Springer 1997 ISBN 3-540-33782-2
- Kong Guoping, Guide to Ceyuan haijing , Hubei Education Press 1966 孔国平. 《测 圆 海 镜 今 导读》 《今 问 正 数》 湖北 教育 出版社. 1995
- Bai Shangshu: una traducción al chino moderno de Li Yeh Ceyuan haijing . Prensa de educación de Shandong 1985 李 冶 著 白 尚 恕 译 钟善基 校. 《测 圆 海 镜 今译》 山东 教育 出版社. 1985
- Wu Wenjun La gran serie de historia de las matemáticas chinas Vol 6 吴文俊 主编 《中国 数学 史 大 系》 第六卷
- Li Yan, Un estudio histórico de Ceyuan haijing, recopiló obras de Li Yan y Qian Baocong vol 8 《李 俨. 钱 宝 琮 科学 史 全集》 卷 8 , 李 俨 《测 圆 海 镜 研究 历程 考》