Tensor de energía potencial de Chandrasekhar

En astrofísica , el tensor de energía potencial de Chandrasekhar proporciona el potencial gravitacional de un cuerpo debido a su propia gravedad creada por la distribución de materia en todo el cuerpo, llamado así por el astrofísico indio americano Subrahmanyan Chandrasekhar . ^{[1] [2] [3]} El tensor de Chandrasekhar es una generalización de la energía potencial, en otras palabras, el rastro del tensor de Chandrasekhar proporciona la energía potencial del cuerpo.

Definición

El tensor de energía potencial de Chandrasekhar se define como

${\displaystyle W_{ij}=-{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi _{ij}d\mathbf {x} =\int _{V}\rho x_{i}{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}d\mathbf {x} }$

donde

${\displaystyle \Phi _{ij}(\mathbf {x} )=G\int _{V}\rho (\mathbf {x'} ){\frac {(x_{i}-x_{i}')(x_{j}-x_{j}')}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |^{3}}}d\mathbf {x'} ,\quad \Rightarrow \quad \Phi _{ii}=\Phi =G\int _{V}{\frac {\rho (\mathbf {x'} )}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}d\mathbf {x'} }$

donde

• ${\displaystyle G}$es la constante gravitacional
• ${\displaystyle \Phi (\mathbf {x} )}$es el potencial autogravitante de la ley de gravedad de Newton
• ${\displaystyle \Phi _{ij}}$ es la versión generalizada de ${\displaystyle \Phi }$
• ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )}$es la distribución de la densidad de la materia
• ${\displaystyle V}$ es el volumen del cuerpo

Es evidente que es un tensor simétrico a partir de su definición. El rastro del tensor de Chandrasekhar no es más que la energía potencial .${\displaystyle W_{ij}}$${\displaystyle W_{ij}}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle W=W_{ii}=-{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi d\mathbf {x} =\int _{V}\rho x_{i}{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{i}}}d\mathbf {x} }$

Por lo tanto, el tensor de Chandrasekhar puede verse como la generalización de la energía potencial. ^[4]

Prueba de Chandrasekhar

Considere una cuestión de volumen con densidad . Por lo tanto${\displaystyle V}$${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{ij}&=-{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi _{ij}d\mathbf {x} \\&=-{\frac {1}{2}}G\int _{V}\int _{V}\rho (\mathbf {x} )\rho (\mathbf {x'} ){\frac {(x_{i}-x_{i}')(x_{j}-x_{j}')}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |^{3}}}d\mathbf {x'} d\mathbf {x} \\&=-G\int _{V}\int _{V}\rho (\mathbf {x} )\rho (\mathbf {x'} ){\frac {x_{i}(x_{j}-x_{j}')}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |^{3}}}d\mathbf {x} d\mathbf {x'} \\&=G\int _{V}d\mathbf {x} \rho (\mathbf {x} )x_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\int _{V}d\mathbf {x'} {\frac {\rho (\mathbf {x'} )}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}\\&=\int _{V}\rho x_{i}{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}d\mathbf {x} \end{aligned}}}$

Tensor de Chandrasekhar en términos de potencial escalar

El potencial escalar se define como

${\displaystyle \chi (\mathbf {x} )=-G\int _{V}\rho (\mathbf {x'} )|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |d\mathbf {x'} }$

entonces Chandrasekhar ^[5] demuestra que

${\displaystyle W_{ij}=\delta _{ij}W+{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}$

Entrando nos ponemos , tomando Laplacian de nuevo, obtenemos .${\displaystyle i=j}$${\displaystyle \nabla ^{2}\chi =-2W}$${\displaystyle \nabla ^{4}\chi =8\pi G\rho }$

Ver también

• Teorema virial
• Ecuaciones viriales de Chandrasekhar

Referencias

1. Chandrasekhar, S; Lebovitz NR (1962). "Los potenciales y superpotenciales de los elipsoides homogéneos" (PDF). Ap. J. 136: 1037–1047. Código Bib : 1962ApJ ... 136.1037C . doi : 10.1086 / 147456 . Consultado el 24 de marzo de 2012.
2. Chandrasekhar, S; Fermi E (1953). "Problemas de estabilidad gravitacional en presencia de un campo magnético" (PDF). Ap. J. 118: 116. Bibcode : 1953ApJ ... 118..116C . doi : 10.1086 / 145732 . Consultado el 24 de marzo de 2012.
3. Chandrasekhar, Subrahmanyan. Figuras elipsoidales de equilibrio. Vol. 9. New Haven: Yale University Press, 1969.
4. Binney, James; Tremaine, Scott (30 de octubre de 2011). Dinámica galáctica (Segunda ed.). Prensa de la Universidad de Princeton . págs. 59–60. ISBN 978-1400828722.
5. Chandrasekhar, Subrahmanyan. Figuras elipsoidales de equilibrio. Vol. 9. New Haven: Yale University Press, 1969.