Ecuaciones viriales de Chandrasekhar

En astrofísica , las ecuaciones viriales de Chandrasekhar son una jerarquía de ecuaciones de momento de las ecuaciones de Euler , desarrolladas por el astrofísico indio americano Subrahmanyan Chandrasekhar y el físico Enrico Fermi y Norman R. Lebovitz. ^{[1] [2] [3]}

Descripción matemática

Considere una masa fluida de volumen con densidad y una presión isotrópica con presión de fuga en las superficies limítrofes. Aquí, se refiere a un marco de referencia adjunto al centro de masa. Antes de describir las ecuaciones viriales, definamos algunos momentos .${\displaystyle M}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle p(\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {x} }$

Los momentos de densidad se definen como

${\displaystyle M=\int _{V}\rho \,d\mathbf {x} ,\quad I_{i}=\int _{V}\rho x_{i}\,d\mathbf {x} ,\quad I_{ij}=\int _{V}\rho x_{i}x_{j}\,d\mathbf {x} ,\quad I_{ijk}=\int _{V}\rho x_{i}x_{j}x_{k}\,d\mathbf {x} ,\quad I_{ijk\ell }=\int _{V}\rho x_{i}x_{j}x_{k}x_{\ell }\,d\mathbf {x} ,\quad {\text{etc.}}}$

los momentos de presión son

${\displaystyle \Pi =\int _{V}p\,d\mathbf {x} ,\quad \Pi _{i}=\int _{V}px_{i}\,d\mathbf {x} ,\quad \Pi _{ij}=\int _{V}px_{i}x_{j}\,d\mathbf {x} ,\quad \Pi _{ijk}=\int _{V}px_{i}x_{j}x_{k}d\mathbf {x} \quad {\text{etc.}}}$

los momentos de energía cinética son

${\displaystyle T_{ij}={\frac {1}{2}}\int _{V}\rho u_{i}u_{j}\,d\mathbf {x} ,\quad T_{ij;k}={\frac {1}{2}}\int _{V}\rho u_{i}u_{j}x_{k}\,d\mathbf {x} ,\quad T_{ij;k\ell }={\frac {1}{2}}\int _{V}\rho u_{i}u_{j}x_{k}x_{\ell }\,d\mathbf {x} ,\quad \mathrm {etc.} }$

y los momentos del tensor de energía potencial de Chandrasekhar son

${\displaystyle W_{ij}=-{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi _{ij}\,d\mathbf {x} ,\quad W_{ij;k}=-{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi _{ij}x_{k}\,d\mathbf {x} ,\quad W_{ij;k\ell }=-{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi _{ij}x_{k}x_{\ell }d\mathbf {x} ,\quad \mathrm {etc.} \quad {\text{where}}\quad \Phi _{ij}=G\int _{V}\rho (\mathbf {x'} ){\frac {(x_{i}-x_{i}')(x_{j}-x_{j}')}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |^{3}}}\,d\mathbf {x'} }$

donde es la constante gravitacional .${\displaystyle G}$

Todos los tensores son simétricos por definición. El momento de inercia , la energía cinética y la energía potencial son solo rastros de los siguientes tensores${\displaystyle I}$${\displaystyle T}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle I=I_{ii}=\int _{V}\rho |\mathbf {x} |^{2}\,d\mathbf {x} ,\quad T=T_{ii}={\frac {1}{2}}\int _{V}\rho |\mathbf {u} |^{2}\,d\mathbf {x} ,\quad W=W_{ii}=-{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi \,d\mathbf {x} \quad {\text{where}}\quad \Phi =\Phi _{ii}=\int _{V}{\frac {\rho (\mathbf {x'} )}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}\,d\mathbf {x'} }$

Chandrasekhar asumió que la masa del fluido está sujeta a la fuerza de presión y su propia fuerza gravitacional, entonces las ecuaciones de Euler son

${\displaystyle \rho {\frac {du_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\rho {\frac {\partial \Phi }{\partial x_{i}}},\quad {\text{where}}\quad {\frac {d}{dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$

Ecuación virial de primer orden

${\displaystyle {\frac {d^{2}I_{i}}{dt^{2}}}=0}$

Ecuación virial de segundo orden

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I_{ij}}{dt^{2}}}=2T_{ij}+W_{ij}+\delta _{ij}\Pi }$

En estado estacionario, la ecuación se convierte en

${\displaystyle 2T_{ij}+W_{ij}=-\delta _{ij}\Pi }$

Ecuación virial de tercer orden

${\displaystyle {\frac {1}{6}}{\frac {d^{2}I_{ijk}}{dt^{2}}}=2(T_{ij;k}+T_{jk;i}+T_{ki;j})+W_{ij;k}+W_{jk;i}+W_{ki;j}+\delta _{ij}\Pi _{k}+\delta _{jk}\Pi _{i}+\delta _{ki}\Pi _{j}}$

En estado estacionario, la ecuación se convierte en

${\displaystyle 2(T_{ij;k}+T_{ik;j})+W_{ij;k}+W_{ik;j}=-\delta _{ij}\Pi _{K}-\delta _{ik}\Pi _{j}}$

Ecuaciones virales en marco de referencia rotatorio

Las ecuaciones de Euler en un marco de referencia giratorio, que gira con una velocidad angular está dada por${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$

${\displaystyle \rho {\frac {du_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\rho {\frac {\partial \Phi }{\partial x_{i}}}+{\frac {1}{2}}\rho {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}|\mathbf {\Omega } \times \mathbf {x} |^{2}+2\rho \varepsilon _{i\ell m}u_{\ell }\Omega _{m}}$

donde está el símbolo de Levi-Civita , es la aceleración centrífuga y es la aceleración de Coriolis .${\displaystyle \varepsilon _{i\ell m}}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}|\mathbf {\Omega } \times \mathbf {x} |^{2}}$${\displaystyle 2\mathbf {u} \times \mathbf {\Omega } }$

Ecuación virial de segundo orden en estado estacionario

En estado estacionario, la ecuación virial de segundo orden se convierte en

${\displaystyle 2T_{ij}+W_{ij}+\Omega ^{2}I_{ij}-\Omega _{i}\Omega _{k}I_{kj}+2\epsilon _{i\ell m}\Omega _{m}\int _{V}\rho u_{\ell }x_{j}\,d\mathbf {x} =-\delta _{ij}\Pi }$

Si el eje de rotación se elige en dirección, la ecuación se convierte en${\displaystyle x_{3}}$

${\displaystyle W_{ij}+\Omega ^{2}(I_{ij}-\delta _{i3}I_{3j})=-\delta _{ij}\Pi }$

y Chandrasekhar muestra que en este caso, los tensores solo pueden tomar la siguiente forma

${\displaystyle W_{ij}={\begin{pmatrix}W_{11}&W_{12}&0\\W_{21}&W_{22}&0\\0&0&W_{33}\end{pmatrix}},\quad I_{ij}={\begin{pmatrix}I_{11}&I_{12}&0\\I_{21}&I_{22}&0\\0&0&I_{33}\end{pmatrix}}}$

Ecuación virial de tercer orden en estado estacionario

En estado estacionario, la ecuación virial de tercer orden se convierte en

${\displaystyle 2(T_{ij;k}+T_{ik;j})+W_{ij;k}+W_{ik;j}+\Omega ^{2}I_{ijk}-\Omega _{i}\Omega _{\ell }I_{\ell jk}+2\varepsilon _{i\ell m}\Omega _{m}\int _{V}\rho u_{\ell }x_{j}x_{k}\,d\mathbf {x} =-\delta _{ij}\Pi _{k}-\delta _{ik}\Pi _{j}}$

Si el eje de rotación se elige en dirección, la ecuación se convierte en${\displaystyle x_{3}}$

${\displaystyle W_{ij;k}+W_{ik;j}+\Omega ^{2}(I_{ijk}-\delta _{i3}I_{3jk})=-(\delta _{ij}\Pi _{k}+\delta _{ik}\Pi _{j})}$

Ecuación virial de cuarto orden en estado estacionario

Con ser el eje de rotación, el estado estacionario cuarto orden ecuación virial también se deriva por Chandrasekhar en 1968. ^[4] La ecuación dice lo${\displaystyle x_{3}}$

${\displaystyle {\frac {1}{3}}(2W_{ij;kl}+2W_{ik;lj}+2W_{il;jk}+W_{ij;k;l}+W_{ik;l;j}+W_{il;j;k})+\Omega ^{2}(I_{ijkl}-\delta _{i3}I_{3jkl})=-(\delta _{ij}\Pi _{kl}+\delta _{ik}\Pi _{lj}+\delta _{il}\Pi _{jk})}$

Ecuaciones viriales con tensiones viscosas

Considere las ecuaciones de Navier-Stokes en lugar de las ecuaciones de Euler ,

${\displaystyle \rho {\frac {du_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\rho {\frac {\partial \Phi }{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial \tau _{ik}}{\partial x_{k}}},\quad {\text{where}}\quad \tau _{ik}=\rho \nu \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}-{\frac {2}{3}}{\frac {\partial u_{l}}{\partial x_{l}}}\delta _{ik}\right)}$

y definimos el tensor de energía de corte como

${\displaystyle S_{ij}=\int _{V}\tau _{ij}d\mathbf {x} .}$

Con la condición de que el componente normal de la tensión total en la superficie libre debe desaparecer, es decir , donde es la unidad exterior normal, la ecuación virial de segundo orden entonces será${\displaystyle (-p\delta _{ik}+\tau _{ik})n_{k}=0}$${\displaystyle \mathbf {n} }$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I_{ij}}{dt^{2}}}=2T_{ij}+W_{ij}+\delta _{ij}\Pi -S_{ij}.}$

Esto se puede ampliar fácilmente al marco giratorio de referencias.

Ver también

• Teorema virial
• Problema elipsoidal de Dirichlet
• Tensor de Chandrasekhar

Referencias

1. Chandrasekhar, S; Lebovitz NR (1962). "Los potenciales y superpotenciales de los elipsoides homogéneos" (PDF). Ap. J. 136: 1037–1047. Código Bib : 1962ApJ ... 136.1037C . doi : 10.1086 / 147456 . Consultado el 24 de marzo de 2012.
2. Chandrasekhar, S; Fermi E (1953). "Problemas de estabilidad gravitacional en presencia de un campo magnético" (PDF). Ap. J. 118: 116. Bibcode : 1953ApJ ... 118..116C . doi : 10.1086 / 145732 . Consultado el 24 de marzo de 2012.
3. Chandrasekhar, Subrahmanyan. Figuras elipsoidales de equilibrio. Vol. 9. New Haven: Yale University Press, 1969.
4. Chandrasekhar, S. (1968). Las ecuaciones viriales de cuarto orden. The Astrophysical Journal, 152, 293. http://repository.ias.ac.in/74364/1/93-p-OCR.pdf