Teoría del caos

La teoría del caos es una teoría científica interdisciplinaria y una rama de las matemáticas centrada en patrones subyacentes y leyes deterministas altamente sensibles a las condiciones iniciales en sistemas dinámicos que se pensaba que tenían estados de desorden e irregularidades completamente aleatorios. [1] La teoría del caos establece que dentro de la aparente aleatoriedad de los sistemas complejos caóticos , existen patrones subyacentes, interconexiones, ciclos de retroalimentación constante , repetición, auto-similitud , fractales y autoorganización . [2] ElEl efecto mariposa , un principio subyacente del caos, describe cómo un pequeño cambio en un estado de un sistema determinista no lineal puede resultar en grandes diferencias en un estado posterior (lo que significa que existe una dependencia sensible de las condiciones iniciales). [3] Una metáfora de este comportamiento es que una mariposa que agita sus alas en Brasil puede provocar un tornado en Texas . [4]

Pequeñas diferencias en las condiciones iniciales, como las debidas a errores en las mediciones o debido a errores de redondeo en el cálculo numérico, pueden producir resultados muy divergentes para tales sistemas dinámicos, lo que hace imposible la predicción a largo plazo de su comportamiento en general. [5] Esto puede suceder a pesar de que estos sistemas son deterministas , lo que significa que su comportamiento futuro sigue una evolución única [6] y está completamente determinado por sus condiciones iniciales, sin elementos aleatorios involucrados. [7] En otras palabras, la naturaleza determinista de estos sistemas no los hace predecibles. [8] [9] Este comportamiento se conoce como caos determinista , o simplementecaos . Edward Lorenz resumió la teoría como: [10]

Caos: Cuando el presente determina el futuro, pero el presente aproximado no determina aproximadamente el futuro.

El comportamiento caótico existe en muchos sistemas naturales, incluido el flujo de fluidos, irregularidades en los latidos del corazón, el tiempo y el clima. [11] [12] [6] También ocurre de manera espontánea en algunos sistemas con componentes artificiales, como la bolsa de valores y el tráfico rodado . [13] [2] Este comportamiento se puede estudiar mediante el análisis de un modelo matemático caótico , o mediante técnicas analíticas como gráficos de recurrencia y mapas de Poincaré . La teoría del caos tiene aplicaciones en una variedad de disciplinas, incluida la meteorología , [6] antropología , [14] sociología., ciencias ambientales , ciencias de la computación , ingeniería , economía , ecología , gestión de crisis pandémicas , [15] [16] . La teoría formó la base para campos de estudio como los sistemas dinámicos complejos , la teoría del borde del caos y los procesos de autoensamblaje .

La teoría del caos se refiere a sistemas deterministas cuyo comportamiento puede, en principio, predecirse. Los sistemas caóticos son predecibles por un tiempo y luego "parecen" volverse aleatorios. La cantidad de tiempo que se puede predecir eficazmente el comportamiento de un sistema caótico depende de tres cosas: cuánta incertidumbre se puede tolerar en el pronóstico, con qué precisión se puede medir su estado actual y una escala de tiempo que depende de la dinámica del sistema. , llamado el tiempo de Lyapunov . Algunos ejemplos de tiempos de Lyapunov son: circuitos eléctricos caóticos, alrededor de 1 milisegundo; sistemas meteorológicos, unos pocos días (no probado); el sistema solar interior, de 4 a 5 millones de años. [17] En sistemas caóticos, la incertidumbre en un pronóstico aumenta exponencialmentecon el tiempo transcurrido. Por lo tanto, matemáticamente, duplicar el tiempo de pronóstico más que cuadra la incertidumbre proporcional en el pronóstico. Esto significa que, en la práctica, no se puede hacer una predicción significativa en un intervalo de más de dos o tres veces el tiempo de Lyapunov. Cuando no se pueden hacer predicciones significativas, el sistema parece aleatorio. [18]

La teoría del caos es un método de análisis cualitativo y cuantitativo para investigar el comportamiento de sistemas dinámicos que no se pueden explicar ni predecir mediante relaciones de datos individuales, sino que deben explicarse y predecirse mediante relaciones de datos continuas y completas.

Una gráfica del atractor de Lorenz para valores r = 28 , σ = 10 , b = 8/3
Una animación de un péndulo de doble varilla a una energía intermedia que muestra un comportamiento caótico. Iniciar el péndulo desde una condición inicial ligeramente diferente daría como resultado una trayectoria muy diferente . El péndulo de doble varilla es uno de los sistemas dinámicos más simples con soluciones caóticas.
El mapa definido por x → 4 x (1 - x ) e y → ( x + y) mod 1 muestra la sensibilidad a las posiciones x iniciales. Aquí, dos series de X y Y los valores divergen notablemente con el tiempo a partir de una pequeña diferencia inicial.
Ecuaciones de Lorenz utilizadas para generar gráficos para la variable y. Las condiciones iniciales para x y z se mantuvieron el mismo, pero las de y se cambiaron entre 1,001 , 1,0001 y 1,00001 . Los valores para , y fueron 45,92 , 16 y 4 respectivamente. Como puede verse en el gráfico, incluso la más mínima diferencia en los valores iniciales provoca cambios significativos después de unos 12 segundos de evolución en los tres casos. Este es un ejemplo de dependencia sensible de las condiciones iniciales.
Seis iteraciones de un conjunto de estados pasaron por el mapa logístico. La primera iteración (azul) es la condición inicial, que esencialmente forma un círculo. La animación muestra la primera a la sexta iteración de las condiciones iniciales circulares. Se puede ver que la mezcla se produce a medida que avanzamos en las iteraciones. La sexta iteración muestra que los puntos están casi completamente dispersos en el espacio de fase. Si hubiéramos progresado más en las iteraciones, la mezcla habría sido homogénea e irreversible. El mapa logístico tiene ecuación . Para expandir el espacio de estados del mapa logístico en dos dimensiones , se creó un segundo estado, como , si y de otra manera.
El mapa definido por x → 4 x (1 - x ) e y → ( x + y) mod 1 también muestra la mezcla topológica . Aquí, la región azul es transformada por la dinámica primero en la región púrpura, luego en las regiones rosa y roja y, finalmente, en una nube de líneas verticales esparcidas por el espacio.
El atractor de Lorenz muestra un comportamiento caótico. Estos dos gráficos demuestran una dependencia sensible de las condiciones iniciales dentro de la región del espacio de fase ocupada por el atractor.
Diagrama de bifurcación del mapa logístico x → r x (1 - x ). Cada corte vertical muestra el atractor para un valor específico de r . El diagrama muestra la duplicación del período a medida que aumenta r , lo que eventualmente produce caos.
Helecho de Barnsley creado usando el juego del caos . Las formas naturales (helechos, nubes, montañas, etc.) se pueden recrear a través de un sistema de funciones iteradas (IFS).
Turbulencia en el vórtice de la punta del ala de un avión . Los estudios del punto crítico más allá del cual un sistema crea turbulencias fueron importantes para la teoría del caos, analizados por ejemplo por el físico soviético Lev Landau , quien desarrolló la teoría de la turbulencia de Landau-Hopf . David Ruelle y Floris Takens predijeron más tarde, contra Landau, que la turbulencia fluida podría desarrollarse a través de un atractor extraño , un concepto principal de la teoría del caos.
Una cáscara textil conus , similar en apariencia a la Regla 30 , un autómata celular con comportamiento caótico. [84]