Efecto mariposa

Idea de que las pequeñas causas pueden tener grandes efectos

Para otros usos, consulte Efecto mariposa (desambiguación) .

Una gráfica del atractor extraño de Lorenz para valores ρ = 28, σ = 10, β = 8/3. El efecto mariposa o la dependencia sensible de las condiciones iniciales es propiedad de un sistema dinámico que, a partir de cualquiera de las diversas condiciones iniciales alternativas arbitrariamente cercanas en el atractor, los puntos iterados se extenderán arbitrariamente entre sí.

Reproducir medios

Demostración experimental del efecto mariposa con diferentes grabaciones del mismo doble péndulo. En cada grabación, el péndulo comienza con casi la misma condición inicial. Con el tiempo, las diferencias en la dinámica pasan de ser casi imperceptibles a ser drásticas.

En la teoría del caos , el efecto mariposa es la dependencia sensible de las condiciones iniciales en las que un pequeño cambio en un estado de un sistema no lineal determinista puede resultar en grandes diferencias en un estado posterior.

El término está estrechamente asociado con el trabajo del matemático y meteorólogo Edward Lorenz . Señaló que el efecto mariposa se deriva del ejemplo metafórico de los detalles de un tornado (el tiempo exacto de formación, el camino exacto tomado) que se ve influenciado por perturbaciones menores, como una mariposa distante batiendo sus alas varias semanas antes. Lorenz descubrió el efecto cuando observó corridas de su modelo meteorológico con datos de condición inicial que se redondearon de una manera aparentemente intrascendente. Señaló que el modelo meteorológico no reproduciría los resultados de las ejecuciones con los datos de condición inicial no redondeados. Un cambio muy pequeño en las condiciones iniciales había creado un resultado significativamente diferente. ^[1]

La idea de que las pequeñas causas pueden tener grandes efectos en el clima fue reconocida anteriormente por el matemático e ingeniero francés Henri Poincaré . El matemático y filósofo estadounidense Norbert Wiener también contribuyó a esta teoría. El trabajo de Edward Lorenz colocó el concepto de inestabilidad de la atmósfera terrestre sobre una base cuantitativa y vinculó el concepto de inestabilidad a las propiedades de grandes clases de sistemas dinámicos que están experimentando una dinámica no lineal y un caos determinista . ^[2]

Desde entonces, el concepto del efecto mariposa se ha utilizado fuera del contexto de la ciencia meteorológica como un término amplio para cualquier situación en la que se supone que un pequeño cambio es la causa de consecuencias mayores.

Historia

En La vocación del hombre (1800), Johann Gottlieb Fichte dice que "no se puede quitar un solo grano de arena de su lugar sin por ello ... cambiar algo en todas las partes del todo inconmensurable".

La teoría del caos y la dependencia sensible de las condiciones iniciales se describieron en numerosas formas de literatura. Esto se evidencia en el caso del problema de los tres cuerpos de Henri Poincaré en 1890. ^[3] Más tarde propuso que tales fenómenos podrían ser comunes, por ejemplo, en meteorología. ^[4]

En 1898, Jacques Hadamard notó una divergencia general de trayectorias en espacios de curvatura negativa. Pierre Duhem discutió el posible significado general de esto en 1908. ^[3]

La idea de que la muerte de una mariposa podría eventualmente tener un efecto dominó de gran alcance en eventos históricos posteriores hizo su primera aparición conocida en " A Sound of Thunder ", un cuento de 1952 de Ray Bradbury . "A Sound of Thunder" discutió la probabilidad de viajar en el tiempo. ^[5]

En 1961, Lorenz estaba ejecutando un modelo informático numérico para rehacer una predicción meteorológica a partir de la mitad de la ejecución anterior como atajo. Ingresó la condición inicial 0.506 de la impresión en lugar de ingresar el valor de precisión total 0.506127. El resultado fue un escenario meteorológico completamente diferente. ^[6]

Lorenz escribió:

"En un momento decidí repetir algunos de los cálculos para examinar con mayor detalle lo que estaba sucediendo. Detuve la computadora, escribí una línea de números que había impreso un rato antes y la volví a poner en funcionamiento. Fui al pasillo por una taza de café y regresé después de aproximadamente una hora, tiempo durante el cual la computadora había simulado aproximadamente dos meses de clima. Los números que se estaban imprimiendo no se parecían en nada a los anteriores. Inmediatamente sospeché que un tubo de vacío débil o algún otro problemas con la computadora, lo cual no era infrecuente, pero antes de llamar al servicio técnico, decidí ver dónde había ocurrido el error, sabiendo que esto podría acelerar el proceso de servicio. En lugar de una interrupción repentina, descubrí que los nuevos valores al principio repetían el los antiguos, pero poco después difirieron en una y luego en varias unidades en el último decimal,y luego comenzó a diferir en el penúltimo lugar y luego en el lugar anterior. De hecho, las diferencias se duplicaron de forma más o menos constante cada cuatro días aproximadamente, hasta que todo parecido con la producción original desapareció en algún momento del segundo mes. Esto fue suficiente para decirme lo que había sucedido: los números que había escrito no eran los números originales exactos, sino los valores redondeados que habían aparecido en la impresión original. Los errores de redondeo iniciales fueron los culpables; fueron ampliándose constantemente hasta que dominaron la solución ". (EN Lorenz,Esto fue suficiente para decirme lo que había sucedido: los números que había escrito no eran los números originales exactos, sino los valores redondeados que habían aparecido en la impresión original. Los errores de redondeo iniciales fueron los culpables; fueron ampliándose constantemente hasta que dominaron la solución ". (EN Lorenz,Esto fue suficiente para decirme lo que había sucedido: los números que había escrito no eran los números originales exactos, sino los valores redondeados que habían aparecido en la impresión original. Los errores de redondeo iniciales fueron los culpables; fueron ampliándose constantemente hasta que dominaron la solución ". (EN Lorenz,The Essence of Chaos , U. Washington Press, Seattle (1993), página 134) ^[7]

En 1963, Lorenz publicó un estudio teórico de este efecto en un artículo fundamental muy citado llamado Deterministic Nonperiodic Flow ^{[8] [9]} (los cálculos se realizaron en una computadora Royal McBee LGP-30 ). ^{[10] [11]} En otra parte declaró:

Un meteorólogo comentó que si la teoría fuera correcta, un aleteo de una gaviota sería suficiente para alterar el curso del tiempo para siempre. La controversia aún no se ha resuelto, pero la evidencia más reciente parece favorecer a las gaviotas. ^[11]

Siguiendo las sugerencias de sus colegas, en discursos y artículos posteriores Lorenz utilizó la mariposa más poética . Según Lorenz, cuando no proporcionó un título para una charla que iba a presentar en la 139a reunión de la Asociación Estadounidense para el Avance de la Ciencia en 1972, Philip Merrilees inventó ¿El aleteo de las alas de una mariposa en Brasil desencadenó un tornado? ¿en Texas? como título. ^[12] Aunque una mariposa batiendo sus alas se ha mantenido constante en la expresión de este concepto, la ubicación de la mariposa, las consecuencias y la ubicación de las consecuencias han variado ampliamente. ^[13]

La frase se refiere a la idea de que las alas de una mariposa pueden crear pequeños cambios en la atmósfera que, en última instancia, pueden alterar la trayectoria de un tornado o retrasar, acelerar o incluso prevenir la ocurrencia de un tornado en otro lugar. La mariposa no impulsa ni crea directamente el tornado, pero el término pretende implicar que el aleteo de las alas de la mariposa puede causar el tornado: en el sentido de que el aleteo de las alas es parte de las condiciones iniciales de una inter- red compleja conectada; un conjunto de condiciones conduce a un tornado, mientras que el otro conjunto de condiciones no. El aleteo del ala representa un pequeño cambio en la condición inicial del sistema, que cae en cascada a alteraciones de eventos a gran escala (comparar: efecto dominó). Si la mariposa no hubiera batido sus alas, la trayectoria del sistema podría haber sido muy diferente, pero también es igualmente posible que el conjunto de condiciones sin que la mariposa agite sus alas sea el conjunto que conduce a un tornado.

El efecto mariposa presenta un desafío obvio para la predicción, ya que las condiciones iniciales de un sistema como el clima nunca pueden conocerse con total precisión. Este problema motivó el desarrollo de la predicción por conjuntos , en la que una serie de predicciones se realizan a partir de condiciones iniciales perturbadas. ^[14]

Desde entonces, algunos científicos han argumentado que el sistema meteorológico no es tan sensible a las condiciones iniciales como se creía anteriormente. ^[15] David Orrell sostiene que el principal factor que contribuye al error de pronóstico del tiempo es el error del modelo, y que la sensibilidad a las condiciones iniciales juega un papel relativamente pequeño. ^{[16] [17]} Stephen Wolfram también señala que las ecuaciones de Lorenz están muy simplificadas y no contienen términos que representen efectos viscosos; él cree que estos términos tenderían a amortiguar las pequeñas perturbaciones. ^[18]

Si bien el "efecto mariposa" se explica a menudo como sinónimo de dependencia sensible de las condiciones iniciales del tipo descrito por Lorenz en su artículo de 1963 (y previamente observado por Poincaré), la metáfora de la mariposa se aplicó originalmente ^[19] al trabajo que publicó en 1969 ^[20]que llevó la idea un paso más allá. Lorenz propuso un modelo matemático de cómo los pequeños movimientos en la atmósfera se escalan para afectar a sistemas más grandes. Encontró que los sistemas en ese modelo solo podían predecirse hasta un punto específico en el futuro, y más allá de eso, reducir el error en las condiciones iniciales no aumentaría la predictibilidad (siempre que el error no sea cero). Esto demostró que un sistema determinista podía ser "observacionalmente indistinguible" de uno no determinista en términos de previsibilidad. Re-exámenes recientes de este artículo sugieren que ofreció un desafío significativo a la idea de que nuestro universo es determinista, comparable a los desafíos que ofrece la física cuántica. ^{[21] [22]}

Ilustración

El efecto mariposa en el atractor de Lorenz
tiempo 0 ≤  t  ≤ 30 (mayor)		coordenada z (más grande)
Estas figuras muestran dos segmentos de la evolución tridimensional de dos trayectorias (una en azul y la otra en amarillo) para el mismo período de tiempo en el atractor de Lorenz comenzando en dos puntos iniciales que difieren solo en 10 −5 en la x -coordinar. Inicialmente, las dos trayectorias parecen coincidir, como lo indica la pequeña diferencia entre la coordenada z de las trayectorias azul y amarilla, pero para t  > 23 la diferencia es tan grande como el valor de la trayectoria. La posición final de los conos indica que las dos trayectorias ya no coinciden en t  = 30.
Una animación del atractor de Lorenz muestra la evolución continua.

Teoría y definición matemática

La recurrencia , el retorno aproximado de un sistema a sus condiciones iniciales, junto con la dependencia sensible de las condiciones iniciales, son los dos ingredientes principales del movimiento caótico. Tienen la consecuencia práctica de hacer que los sistemas complejos , como el clima , sean difíciles de predecir más allá de un cierto rango de tiempo (aproximadamente una semana en el caso del clima) ya que es imposible medir las condiciones atmosféricas iniciales con total precisión.

Un sistema dinámico muestra una dependencia sensible de las condiciones iniciales si los puntos cercanos arbitrariamente se separan con el tiempo a una tasa exponencial. La definición no es topológica, sino esencialmente métrica.

Si M es el espacio de estados para el mapa , entonces muestra una dependencia sensible a las condiciones iniciales si para cualquier x en M y cualquier δ> 0, hay y en M , con una distancia d (.,.) Tal que y tal que${\displaystyle f^{t}}$${\displaystyle f^{t}}$${\displaystyle 0<d(x,y)<\delta }$

${\displaystyle d(f^{\tau }(x),f^{\tau }(y))>\mathrm {e} ^{a\tau }\,d(x,y)}$

para algún parámetro positivo a . La definición no requiere que todos los puntos de una vecindad se separen del punto base x , pero requiere un exponente de Lyapunov positivo .

El marco matemático más simple que exhibe una dependencia sensible de las condiciones iniciales lo proporciona una parametrización particular del mapa logístico :

${\displaystyle x_{n+1}=4x_{n}(1-x_{n}),\quad 0\leq x_{0}\leq 1,}$

que, a diferencia de la mayoría de los mapas caóticos, tiene una solución de forma cerrada :

${\displaystyle x_{n}=\sin ^{2}(2^{n}\theta \pi )}$

donde el parámetro de condición inicial viene dado por . Por razones racionales , después de un número finito de iteraciones, se mapea en una secuencia periódica . Pero casi todos son irracionales y, por irracional , nunca se repite, no es periódico. Esta ecuación de solución demuestra claramente las dos características clave del caos: el estiramiento y el plegado: el factor 2 ⁿ muestra el crecimiento exponencial del estiramiento, lo que da como resultado una dependencia sensible de las condiciones iniciales (el efecto mariposa), mientras que la función de seno al cuadrado se mantiene plegada dentro del rango [0, 1].${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}(x_{0}^{1/2})}$${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{n}}$

En sistemas físicos

En tiempo

El efecto mariposa es más familiar en términos de clima ; se puede demostrar fácilmente en modelos estándar de predicción del tiempo, por ejemplo. Los científicos del clima James Annan y William Connolley explican que el caos es importante en el desarrollo de métodos de predicción del tiempo; Los modelos son sensibles a las condiciones iniciales. Añaden la salvedad: "Por supuesto, la existencia de una mariposa desconocida batiendo sus alas no tiene relación directa con los pronósticos meteorológicos, ya que tomará demasiado tiempo para que una perturbación tan pequeña crezca a un tamaño significativo, y tenemos muchas más inmediatas incertidumbres de las que preocuparse. Por tanto, el impacto directo de este fenómeno en la predicción meteorológica suele ser algo erróneo ". ^[23]

En mecánica cuántica

El potencial de dependencia sensible de las condiciones iniciales (el efecto mariposa) se ha estudiado en varios casos de la física cuántica y semiclásica, incluidos los átomos en campos fuertes y el problema anisotrópico de Kepler . ^{[24] [25]} Algunos autores han argumentado que no se espera una dependencia extrema (exponencial) de las condiciones iniciales en los tratamientos cuánticos puros; ^{[26] [27]} sin embargo, la dependencia sensible de las condiciones iniciales demostrada en el movimiento clásico se incluye en los tratamientos semiclásicos desarrollados por Martin Gutzwiller ^[28] y Delos y colaboradores. ^[29]La teoría de la matriz aleatoria y las simulaciones con computadoras cuánticas demuestran que algunas versiones del efecto mariposa en la mecánica cuántica no existen. ^[30]

Otros autores sugieren que el efecto mariposa se puede observar en sistemas cuánticos. Karkuszewski y col. considere la evolución en el tiempo de los sistemas cuánticos que tienen hamiltonianos ligeramente diferentes . Investigan el nivel de sensibilidad de los sistemas cuánticos a pequeños cambios en sus hamiltonianos dados. ^[31] Poulin y col. presentó un algoritmo cuántico para medir el deterioro de la fidelidad, que "mide la velocidad a la que los estados iniciales idénticos divergen cuando se someten a dinámicas ligeramente diferentes". Consideran que la degradación de la fidelidad es "el análogo cuántico más cercano al efecto mariposa (puramente clásico)".^[32] Considerando que el efecto mariposa clásico considera el efecto de un pequeño cambio en la posición y / o velocidad de un objeto en un sistema hamiltoniano dado, el efecto mariposa cuántica considera el efecto de un pequeño cambio en el sistema hamiltoniano con una posición y velocidad iniciales determinadas. ^{[33] [34]} Este efecto mariposa cuántica se ha demostrado experimentalmente. ^[35] Los tratamientos cuánticos y semiclásicos de la sensibilidad del sistema a las condiciones iniciales se conocen como caos cuántico . ^{[26] [33]}

En la cultura popular

Artículo principal: Efecto mariposa en la cultura popular

Ver también

• Actualidad y potencialidad
• Efecto avalancha
• Cúspide conductual
• Efecto mariposa en la cultura popular
• Fallo en cascada
• Causalidad
• Reacción en cadena
• Clapotis
• Determinismo
• efecto dominó
• Sistemas dinámicos
• Fractal
• Gran controversia sobre el estribo
• Mariposa de innovación
• Síndrome de Kessler
• Ley de consecuencias no deseadas
• Cúpula de Norton
• Punto de divergencia
• Retroalimentación positiva
• Representatividad heurística
• Efecto dominó
• Efecto bola de nieve
• La congestión del tráfico
• Ciclogénesis tropical

Referencias

1. Lorenz, Edward N. (marzo de 1963). "Flujo no periódico determinista" . Revista de Ciencias Atmosféricas . 20 (2): 130-141. Código Bibliográfico : 1963JAtS ... 20..130L . doi : 10.1175 / 1520-0469 (1963) 020 <0130: dnf> 2.0.co; 2 .
2. "Efecto mariposa - Scholarpedia" . www.scholarpedia.org . Archivado desde el original el 2 de enero de 2016 . Consultado el 2 de enero de 2016 .
3. Algunas notas históricas: Historia de la teoría del caos Archivado el 19 de julio de 2006 en la Wayback Machine.
4. Steves, Bonnie; Maciejewski, AJ (septiembre de 2001). Las aplicaciones del Universo Inquieto de la dinámica gravitacional de N-Body a los sistemas planetarios estelares y galácticos . Estados Unidos: CRC Press. ISBN 0750308222. Consultado el 6 de enero de 2014 .
5. Flam, Faye (15 de junio de 2012). "La física de" A Sound of Thunder " de Ray Bradbury " . The Philadelphia Inquirer . Archivado desde el original el 24 de septiembre de 2015 . Consultado el 2 de septiembre de 2015 .
6. Gleick, James (1987). Caos: Haciendo una nueva ciencia . Vikingo. pag. 16. ISBN 0-8133-4085-3.
7. Motter, Adilson E .; Campbell, David K. (2013). "Caos a los cincuenta". Física hoy . 66 (5): 27–33. arXiv : 1306.5777 . Código bibliográfico : 2013PhT .... 66e..27M . doi : 10.1063 / PT.3.1977 . S2CID 54005470 . 
8. Lorenz, Edward N. (marzo de 1963). "Flujo no periódico determinista" . Revista de Ciencias Atmosféricas . 20 (2): 130-141. Código Bibliográfico : 1963JAtS ... 20..130L . doi : 10.1175 / 1520-0469 (1963) 020 <0130: DNF> 2.0.CO; 2 . ISSN 1520-0469 . 
9. Registro de citas de Google Scholar
10. "Part19" . Cs.ualberta.ca. 1960-11-22. Archivado desde el original el 17 de julio de 2009 . Consultado el 8 de junio de 2014 .
11. Lorenz, Edward N. (1963). "La previsibilidad del flujo hidrodinámico" (PDF) . Transacciones de la Academia de Ciencias de Nueva York . 25 (4): 409–432. doi : 10.1111 / j.2164-0947.1963.tb01464.x . Archivado (PDF) desde el original el 10 de octubre de 2014 . Consultado el 1 de septiembre de 2014 .
12. Lorenz: "Predictability", AAAS 139th meeting, 1972 Archivado el 12 de junio de 2013 en Wayback Machine. Consultado el 22 de mayo de 2015.
13. "Los efectos de la mariposa: variaciones en un meme" . AP42 ... y todo . Archivado desde el original el 11 de noviembre de 2011 . Consultado el 3 de agosto de 2011 .
14. Woods, Austin (2005). Predicción meteorológica a medio plazo: enfoque europeo; La historia del Centro Europeo de Previsiones Meteorológicas a Medio Plazo . Nueva York: Springer. pag. 118 . ISBN 978-0387269283.
15. Orrell, David; Smith, Leonard; Barkmeijer, Jan; Palmer, Tim (2001). "Error de modelo en la predicción del tiempo" . Procesos no lineales en geofísica . 9 (6): 357–371. Código Bibliográfico : 2001NPGeo ... 8..357O . doi : 10.5194 / npg-8-357-2001 .
16. Orrell, David (2002). "Papel de la métrica en el crecimiento del error de pronóstico: ¿Qué tan caótico es el clima?" . Tellus . 54A (4): 350–362. Código bibliográfico : 2002TellA..54..350O . doi : 10.3402 / tellusa.v54i4.12159 .
17. Orrell, David (2012). Verdad o belleza: ciencia y búsqueda del orden . New Haven: Prensa de la Universidad de Yale. pag. 208. ISBN 978-0300186611.
18. Wolfram, Stephen (2002). Un nuevo tipo de ciencia . Wolfram Media. pag. 998 . ISBN 978-1579550080.
19. Lorenz: "Predictability", AAAS 139th meeting, 1972 Archivado el 12 de junio de 2013 en Wayback Machine. Consultado el 22 de mayo de 2015.
20. Lorenz, Edward N. (junio de 1969). "La previsibilidad de un flujo que posee muchas escalas de movimiento". Tellus . XXI (3): 289-297. Código bibliográfico : 1969TellA..21..289L . doi : 10.1111 / j.2153-3490.1969.tb00444.x .
21. Tim, Palmer (19 de mayo de 2017). "El efecto mariposa: ¿qué significa realmente?" . Canal de Youtube del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Oxford . Consultado el 13 de febrero de 2019 .
22. Emanuel, Kerry (26 de marzo de 2018). "Edward N. Lorenz y el fin del universo cartesiano" . Canal de Youtube del Departamento de Ciencias de la Tierra, Atmosféricas y Planetarias del MIT . Consultado el 13 de febrero de 2019 .
23. "Caos y clima" . RealClimate. Archivado desde el original el 2 de julio de 2014 . Consultado el 8 de junio de 2014 .
24. Heller, EJ; Tomsovic, S. (julio de 1993). "Mecánica cuántica posmoderna". Física hoy . 46 (7): 38–46. Código Bibliográfico : 1993PhT .... 46g..38H . doi : 10.1063 / 1.881358 .
25. Gutzwiller, Martin C. (1990). Caos en mecánica clásica y cuántica . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97173-4.
26. Rudnick, Ze'ev (enero de 2008). "¿Qué es ... el caos cuántico" (PDF) . Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . Archivado (PDF) desde el original el 2 de octubre de 2009.
27. Berry, Michael (1989). "Caos cuántica, no caos cuántico". Physica Scripta . 40 (3): 335–336. Código Bibliográfico : 1989PhyS ... 40..335B . doi : 10.1088 / 0031-8949 / 40/3/013 .
28. Gutzwiller, Martin C. (1971). "Órbitas periódicas y condiciones clásicas de cuantificación". Revista de Física Matemática . 12 (3): 343. Bibcode : 1971JMP .... 12..343G . doi : 10.1063 / 1.1665596 .
29. Gao, J. y Delos, JB (1992). "Teoría de oscilaciones en órbita cerrada en secciones transversales de fotoabsorción atómica en un campo eléctrico fuerte. II. Derivación de fórmulas". Physical Review A . 46 (3): 1455–1467. Código Bibliográfico : 1992PhRvA..46.1455G . doi : 10.1103 / PhysRevA.46.1455 . PMID 9908268 . 
30. Yan, Bin; Sinitsyn, Nikolai A. (2020). "Recuperación de información dañada y correlacionadores fuera de tiempo". Cartas de revisión física . 125 (4): 040605. arXiv : 2003.07267 . doi : 10.1103 / PhysRevLett.125.040605 . PMID 32794812 . S2CID 212725801 .  
31. Karkuszewski, Zbyszek P .; Jarzynski, Christopher; Zurek, Wojciech H. (2002). "Ambientes caóticos cuánticos, el efecto mariposa y la decoherencia". Cartas de revisión física . 89 (17): 170405. arXiv : quant-ph / 0111002 . Código Bibliográfico : 2002PhRvL..89q0405K . doi : 10.1103 / PhysRevLett.89.170405 . PMID 12398653 . S2CID 33363344 .  
32. Poulin, David; Blume-Kohout, Robin; Laflamme, Raymond y Ollivier, Harold (2004). "Aceleración exponencial con un solo bit de información cuántica: medición de la disminución de la fidelidad promedio". Cartas de revisión física . 92 (17): 177906. arXiv : quant-ph / 0310038 . Código Bibliográfico : 2004PhRvL..92q7906P . doi : 10.1103 / PhysRevLett.92.177906 . PMID 15169196 . S2CID 6218604 .  
33. Poulin, David. "Una guía aproximada del caos cuántico" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 4 de noviembre de 2010.
34. Peres, A. (1995). Teoría cuántica: conceptos y métodos . Dordrecht: Académico Kluwer.
35. Lee, Jae-Seung y Khitrin, AK (2004). "Amplificador cuántico: medición con espines entrelazados". Revista de Física Química . 121 (9): 3949–51. Código Bibliográfico : 2004JChPh.121.3949L . doi : 10.1063 / 1.1788661 . PMID 15332940 . 

Lectura adicional

• James Gleick , Chaos: Making a New Science , Nueva York: Viking, 1987. 368 págs.
• Devaney, Robert L. (2003). Introducción a los sistemas dinámicos caóticos . Westview Press. ISBN 0670811785.
• Hilborn, Robert C. (2004). "Gaviotas, mariposas y saltamontes: una breve historia del efecto mariposa en dinámica no lineal". Revista estadounidense de física . 72 (4): 425–427. Código Bibliográfico : 2004AmJPh..72..425H . doi : 10.1119 / 1.1636492 .
• Bradbury, Ray. "Un sonido de trueno". Collier's. 28 de junio de 1952

Enlaces externos

Busque el efecto mariposa en Wikcionario, el diccionario gratuito.

• Clima y caos: el trabajo de Edward N. Lorenz . Un breve documental que explica el "efecto mariposa" en el contexto de la obra de Lorenz.
• El hipertexto del caos . Introducción al caos y los fractales
• El significado de la mariposa: por qué a la cultura pop le encanta el 'efecto mariposa' y se equivoca totalmente , Peter Dizikes, The Boston Globe , 8 de junio de 2008
• Instituto de Sistemas Complejos de Nueva Inglaterra - Conceptos: Efecto Mariposa
• El hipertexto del caos . Introducción al caos y los fractales
• ChaosBook.org . Libro de texto de posgrado avanzado sobre el caos (sin fractales)
• Weisstein, Eric W. "Efecto mariposa" . MathWorld .