Módulo de caracteres

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En matemáticas, especialmente en el área del álgebra abstracta , cada módulo tiene un módulo de caracteres asociado . Usando el módulo de caracteres asociado es posible investigar las propiedades del módulo original. Uno de los principales resultados descubiertos por Joachim Lambek muestra que un módulo es plano si y solo si el módulo de caracteres asociado es inyectivo . ^[1]

El grupo , el grupo de números racionales módulo , se puede considerar como un módulo de forma natural. Sea un grupo aditivo que también se considera un módulo. Entonces el grupo${\ Displaystyle (\ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}, +)}$${\ textstyle 1}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Sea -módulos izquierdos y un -homomorphismus. Entonces, el mapeo definido por para todos es un homomorfismo recto. La formación de módulos de caracteres es un functor contravariante de la categoría de módulos izquierdos a la categoría de módulos derechos . ^[3]${\ Displaystyle M, N}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle f \ dos puntos M \ a N}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle f ^ {*} \ colon N ^ {*} \ to M ^ {*}}$${\ Displaystyle f ^ {*} (h) = h \ circ f}$${\ Displaystyle h \ en N ^ {*}}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$

El grupo abeliano es divisible y, por tanto, un módulo inyectivo . Además tiene la siguiente propiedad importante: Sea un grupo abeliano y distinto de cero. Entonces existe un homomorfismo de grupo con . Esto dice que es un cogenerador . Con estas propiedades se puede mostrar el teorema principal de la teoría de módulos de caracteres: ^[3]${\ Displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle g \ in G}$${\ Displaystyle f \ colon G \ to \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle f (g) \ neq 0}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}}$

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