En matemáticas , especialmente en el campo de la teoría de grupos , un grupo divisible es un grupo abeliano en el que cada elemento puede, en cierto sentido, se divide por números enteros positivos, o más exactamente, cada elemento es una n º múltiple para cada entero positivo n . Los grupos divisibles son importantes para comprender la estructura de los grupos abelianos, especialmente porque son los grupos abelianos inyectables .
Definición
Un grupo abeliano es divisible si, para cada entero positivo y cada , existe tal que . [1] Una condición equivalente es: para cualquier entero positivo, , ya que la existencia de para cada y implica que , y en la otra dirección es cierto para todos los grupos. Una tercera condición equivalente es que un grupo abeliano es divisible si y solo si es un objeto inyectivo en la categoría de grupos abelianos ; por esta razón, un grupo divisible a veces se denomina grupo inyectivo .
Un grupo abeliano es - divisible por un primo si por cada , existe tal que . De manera equivalente, un grupo abeliano es-divisible si y solo si .
Ejemplos de
- Los números racionales Forman un grupo divisible bajo adición.
- De manera más general, el grupo aditivo subyacente de cualquier espacio vectorial sobre es divisible.
- Todo cociente de un grupo divisible es divisible. Por lo tanto, es divisible.
- El p - componente principal de , que es isomorfo al p - grupo cuasicíclico es divisible.
- El grupo multiplicativo de los números complejos es divisible.
- Todo grupo abeliano existencialmente cerrado (en el sentido teórico del modelo ) es divisible.
Propiedades
- Si un grupo divisible es un subgrupo de un grupo abeliano, entonces es un sumando directo de ese grupo abeliano. [2]
- Cada grupo abeliano puede integrarse en un grupo divisible. [3]
- Los grupos divisibles no triviales no se generan de forma finita .
- Además, cada grupo abeliano puede integrarse en un grupo divisible como un subgrupo esencial de una manera única. [4]
- Un grupo abeliano es divisible si y solo si es p -divisible para cada primo p .
- Dejar ser un anillo . Si es un grupo divisible, entonces es inyectivo en la categoría de- módulos . [5]
Teorema de estructura de grupos divisibles
Sea G un grupo divisible. Entonces el subgrupo de torsión Tor ( G ) de G es divisible. Desde un grupo divisible es un módulo inyectiva , Tor ( G ) es un sumando directo de G . Entonces
Como cociente de un grupo divisible, G / Tor ( G ) es divisible. Además, está libre de torsión . Por lo tanto, es un espacio vectorial sobre Q y, por lo tanto, existe un conjunto I tal que
La estructura del subgrupo de torsión es más difícil de determinar, pero se puede demostrar [6] [7] que para todos los números primos p existe tal que
dónde es el componente p -primario de Tor ( G ).
Por tanto, si P es el conjunto de números primos,
Las cardinalidades de los conjuntos I y I p para p ∈ P se determinan de forma única por el grupo G .
Sobre inyectable
Como se indicó anteriormente, cualquier grupo abeliano A puede estar incrustado de forma única en un grupo divisible D como un subgrupo esencial . Este grupo divisible D es la envoltura inyectiva de A , y este concepto es el casco inyectivo en la categoría de grupos abelianos.
Grupos abelianos reducidos
Se dice que un grupo abeliano se reduce si su único subgrupo divisible es {0}. Cada grupo abeliano es la suma directa de un subgrupo divisible y un subgrupo reducido. De hecho, existe un subgrupo divisible único más grande de cualquier grupo, y este subgrupo divisible es un sumando directo. [8] Esta es una característica especial de los anillos hereditarios como los números enteros Z : la suma directa de los módulos inyectivos es inyectiva porque el anillo es noetheriano , y los cocientes de los inyectables son inyectivos porque el anillo es hereditario, por lo que cualquier submódulo generado por módulos inyectivos es inyectable. Lo contrario es el resultado de ( Matlis 1958 ): si cada módulo tiene un submódulo inyectivo máximo único, entonces el anillo es hereditario.
El teorema de Ulm da una clasificación completa de los grupos abelianos periódicos reducidos contables .
Generalización
Varias definiciones distintas generalizan grupos divisibles en módulos divisibles. Las siguientes definiciones se han utilizado en la literatura para definir un módulo divisible M sobre un anillo R :
- rM = M para todos distinto de cero r en R . [9] (A veces se requiere que r no sea un divisor de cero, y algunos autores [10] [11] requieren que R sea un dominio ).
- Por cada director izquierda ideales Ra , cualquier homomorfismo de Ra en M se extiende a un homomorfismo de R en M . [12] [13] (Este tipo de módulo divisible también se denomina módulo principalmente inyectivo ).
- Por cada finitamente generado ideal a izquierda L de R , cualquier homomorfismo de L en M se extiende a un homomorfismo de R en M . [14]
Las dos últimas condiciones son "versiones restringidas" del criterio de Baer para módulos inyectivos . Dado que los módulos inyectivos izquierdos extienden homomorfismos de todos los ideales izquierdos a R , los módulos inyectivos son claramente divisibles en los sentidos 2 y 3.
Si R es además un dominio, las tres definiciones coinciden. Si R es un dominio ideal izquierdo principal, entonces los módulos divisibles coinciden con los módulos inyectivos. [15] Así, en el caso del anillo de números enteros Z , que es un dominio ideal principal, un módulo Z (que es exactamente un grupo abeliano) es divisible si y solo si es inyectivo.
Si R es un dominio conmutativo , entonces los módulos R inyectivos coinciden con los módulos R divisibles si y solo si R es un dominio Dedekind . [15]
Ver también
- Objeto inyectivo
- Módulo inyectivo
Notas
- ↑ Griffith, p. 6
- ↑ Hall, p. 197
- ↑ Griffith, p. 17
- ↑ Griffith, p.19
- ^ Lang, pág. 106
- ^ Kaplansky, 1965 .
- ^ Fuchs, 1970 .
- ↑ Griffith, p. 7
- ^ Feigelstock 2006 .
- ^ Cartan y Eilenberg 1999 .
- ^ Rotman, 2009 .
- ^ Lam 1999 .
- ^ Nicholson y Yousif 2003 .
- ^ Damiano 1979 .
- ↑ a b Lam 1999 , p.70-73.
Referencias
- Cartan, Henri ; Eilenberg, Samuel (1999), Álgebra homológica , Hitos de Princeton en matemáticas, Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, págs. Xvi + 390, ISBN 0-691-04991-2, Señor 1731415Con un apéndice de David A. Buchsbaum; Reimpresión del original de 1956
- Feigelstock, Shalom (2006), "Divisible es inyectable", Soochow J. Math. , 32 (2): 241–243, ISSN 0250-3255 , MR 2238765
- Griffith, Phillip A. (1970). Teoría del grupo infinito abeliano . Conferencias de Chicago en Matemáticas. Prensa de la Universidad de Chicago. ISBN 0-226-30870-7.
- Hall, Marshall, hijo (1959). La teoría de grupos . Nueva York: Macmillan. Capítulo 13.3.
- Kaplansky, Irving (1965). Grupos abelianos infinitos . Prensa de la Universidad de Michigan.
- Fuchs, László (1970). Infinite Abelian Groups Vol 1 . Prensa académica.
- Lam, Tsit-Yuen (1999), Conferencias sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas No. 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
- Serge Lang (1984). Álgebra, segunda edición . Menlo Park, California: Addison-Wesley.
- Matlis, Eben (1958). "Módulos inyectivos sobre anillos noetherianos" . Pacific Journal of Mathematics . 8 : 511-528. doi : 10.2140 / pjm.1958.8.511 . ISSN 0030-8730 . Señor 0099360 .
- Nicholson, WK; Yousif, MF (2003), Cuasi-Frobenius rings , Cambridge Tracts in Mathematics, 158 , Cambridge: Cambridge University Press, págs. Xviii + 307, doi : 10.1017 / CBO9780511546525 , ISBN 0-521-81593-2, Señor 2003785