En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas, el concepto de cogenerador inyectivo se extrae de ejemplos como la dualidad de Pontryagin . Los generadores son objetos que cubren otros objetos como una aproximación, y (dualmente) los cogeneradores son objetos que envuelven a otros objetos como una aproximación.
Más precisamente:
- Un generador de una categoría con un objeto cero es un objeto G tal que para cada objeto distinto de cero H existe un no cero morfismo f: G → H .
- Un cogenerador es un objeto C tal que para cada distinto de cero objeto H existe un morfismo distinto de cero f: H → C . (Tenga en cuenta el orden inverso).
El caso del grupo abeliano
Suponiendo que uno tiene una categoría como la de los grupos abelianos , de hecho se pueden formar sumas directas de copias de G hasta que el morfismo
- f : Suma ( G ) → H
es sobreyectiva ; y se pueden formar productos directos de C hasta que el morfismo
- f : H → Prod ( C )
es inyectable .
Por ejemplo, los números enteros son un generador de la categoría de grupos abelianos (ya que cada grupo abeliano es un cociente de un grupo abeliano libre ). Este es el origen del término generador . La aproximación aquí se describe normalmente como generadores y relaciones.
Como ejemplo de un cogenerador en la misma categoría, tenemos Q / Z , los racionales módulo los enteros, que es un grupo abeliano divisible . Dado cualquier grupo abeliano A , hay una copia isomórfica de A contenida dentro del producto de | A | copias de Q / Z . Esta aproximación se acerca a lo que se llama envolvente divisible : la envolvente verdadera está sujeta a una condición de mínima.
Teoría general
Encontrar un generador de una categoría abeliana permite expresar cada objeto como un cociente de una suma directa de copias del generador. Encontrar un cogenerador permite expresar cada objeto como un subobjeto de un producto directo de copias del cogenerador. Uno está a menudo interesado en generadores proyectivos (incluso generadores proyectivos generados finitamente, llamados progeneradores) y cogeneradores inyectivos mínimos. Ambos ejemplos anteriores tienen estas propiedades adicionales.
El cogenerador Q / Z es útil en el estudio de módulos sobre anillos generales. Si H es un módulo izquierdo sobre el anillo R , uno forma la (algebraica) carácter módulo H * que consta de todos homomorfismo de grupos abelianos de H a Q / Z . H * es entonces un módulo R derecho. Q / Z siendo un cogenerador dice precisamente que H * es 0 si y solo si H es 0. Aún más es cierto: la operación * toma un homomorfismo
- f : H → K
a un homomorfismo
- f *: K * → H *,
y f * es 0 si y sólo si f es 0. Por lo tanto, es un fiel contravariant funtor de izquierda R -modules a derecha R -modules.
Cada H * es puramente inyectivo (también llamado algebraicamente compacto). A menudo, se puede considerar un problema después de aplicar el * para simplificar las cosas.
Todo esto también se puede hacer para módulos continuos H : una formas del módulo de carácter topológica de homomorfismo de grupos continuos de H a la del círculo del grupo R / Z .
En topología general
El teorema de la extensión de Tietze puede usarse para demostrar que un intervalo es un cogenerador inyectivo en una categoría de espacios topológicos sujetos a axiomas de separación .