En análisis matemático , las desigualdades de Chebyshev-Markov-Stieltjes son desigualdades relacionadas con el problema de los momentos que fueron formuladas en la década de 1880 por Pafnuty Chebyshev y probadas independientemente por Andrey Markov y (algo más tarde) por Thomas Jan Stieltjes . [1] De manera informal, proporcionan límites precisos en una medida desde arriba y desde abajo en términos de sus primeros momentos .
Formulación
Dado m 0 , ..., m 2 m -1 ∈ R , considere la colección C de medidas μ en R tal que
para k = 0,1, ..., 2 m - 1 (y en particular la integral es definida y finita).
Sean P 0 , P 1 , ..., P m los primeros polinomios ortogonales m + 1 con respecto a μ ∈ C , y sean ξ 1 , ... ξ m los ceros de P m . No es difícil ver que los polinomios P 0 , P 1 , ..., P m -1 y los números ξ 1 , ... ξ m son los mismos para cada μ ∈ C , y por lo tanto están determinados únicamente por m 0 , ..., m 2 m -1 .
Denotar
- .
Teorema Para j = 1,2, ..., my cualquier μ ∈ C ,
Referencias
- ^ Akhiezer, NI (1965). El problema del momento clásico y algunas preguntas relacionadas en el análisis . Oliver y Boyd.