En matemáticas , surge un problema de momento como resultado de intentar invertir el mapeo que toma una medida μ a las secuencias de momentos.
De manera más general, uno puede considerar
para una secuencia arbitraria de funciones M n .
Introducción
En el escenario clásico, μ es una medida en la línea real y M es la secuencia { x n : n = 0, 1, 2, ...}. De esta forma, la pregunta aparece en la teoría de la probabilidad , preguntando si hay una medida de probabilidad que tenga media , varianza , etc. especificadas , y si es única.
Hay tres problemas de momentos clásicos con nombre: el problema del momento de Hamburger en el que se permite que el soporte de μ sea la línea real completa; el problema del momento de Stieltjes , para [0, + ∞); y el problema del momento de Hausdorff para un intervalo acotado, que sin pérdida de generalidad puede tomarse como [0, 1].
Existencia
Una secuencia de números m n es la secuencia de momentos de una medida μ si y solo si se cumple una determinada condición de positividad; a saber, las matrices de Hankel H n ,
debe ser positivo semi-definido . Esto se debe a que una matriz de Hankel positiva-semidefinita corresponde a una matriz funcional lineal tal que y (no negativo para la suma de cuadrados de polinomios). Asumir se puede extender a . En el caso univariado, un polinomio no negativo siempre se puede escribir como una suma de cuadrados. Entonces el funcional lineales positivo para todos los polinomios no negativos en el caso univariado. Según el teorema de Haviland, el funcional lineal tiene una forma de medida, es decir. Una condición de forma similar es necesaria y suficiente para la existencia de una medidasoportado en un intervalo dado [ a , b ].
Una forma de probar estos resultados es considerar el funcional lineal que envía un polinomio
a
Si m kn son los momentos de alguna medida μ apoyados en [ a , b ], entonces evidentemente
- para cualquier polinomio P que no sea negativo en [ a , b ].
( 1 )
Viceversa, si ( 1 ) se cumple, se puede aplicar el teorema de extensión de M. Riesz y extendera un funcional en el espacio de funciones continuas con soporte compacto C 0 ([ a , b ]), de modo que
- para cualquier
( 2 )
Según el teorema de representación de Riesz , ( 2 ) se cumple sif existe una medida μ apoyada en [ a , b ], tal que
para todo ƒ ∈ C 0 ([ a , b ]).
Por tanto, la existencia de la medida es equivalente a ( 1 ). Usando un teorema de representación para polinomios positivos en [ a , b ], se puede reformular ( 1 ) como una condición en matrices de Hankel .
Ver Shohat & Tamarkin 1943 y Kerin & Nudelman 1977 para más detalles.
Singularidad (o determinación)
La unicidad de μ en el problema del momento de Hausdorff se deriva del teorema de aproximación de Weierstrass , que establece que los polinomios son densos bajo la norma uniforme en el espacio de funciones continuas en [0, 1]. Para el problema de un intervalo infinito, la unicidad es una cuestión más delicada; ver el estado del Carleman , la condición de Kerin y Akhiezer (1965) .
Variaciones
Una variación importante es el problema momento truncada , que estudia las propiedades de medidas con primeros fijos k momentos (para un finito k ). Resultados en el momento problema truncada tienen numerosas aplicaciones a problemas extremales , optimización y teoremas límite en teoría de la probabilidad . Ver también: Desigualdades de Chebyshev – Markov – Stieltjes y Kerin & Nudelman 1977 .
Ver también
Referencias
- Shohat, James Alexander; Tamarkin, Jacob D. (1943). El problema de los momentos . Nueva York: sociedad matemática estadounidense.
- Akhiezer, Naum I. (1965). El problema del momento clásico y algunas cuestiones relacionadas en el análisis . Nueva York: Hafner Publishing Co. (traducido del ruso por N. Kemmer)
- Kerin, MG; Nudelman, AA (1977). El problema del momento de Markov y los problemas extremos. Ideas y problemas de PL Chebyshev y AA Markov y su posterior desarrollo . Traducciones de monografías matemáticas, vol. 50. Sociedad Americana de Matemáticas, Providence, RI (Traducido del ruso por D. Louvish)
- Schmüdgen, Konrad (2017). El problema del momento . Springer International Publishing.