En la geometría de Riemann , el teorema de comparación de valores propios de Cheng establece en términos generales que cuando un dominio es grande, el primer valor propio de Dirichlet de su operador de Laplace-Beltrami es pequeño. Esta caracterización general no es precisa, en parte porque la noción de "tamaño" del dominio también debe dar cuenta de su curvatura . [1] El teorema se debe a Cheng (1975b) de Shiu-Yuen Cheng . Usando bolas geodésicas , se puede generalizar a ciertos dominios tubulares ( Lee 1990 ).
Teorema
Deje que M sea una variedad de Riemann con dimensión n , y sea B M ( p , r ) sea una bola geodésica centrado en p con un radio r menor que el radio de inyectividad de p ∈ M . Para cada número real k , sea N ( k ) la forma espacial simplemente conectada de dimensión n y curvatura seccional constante k . El teorema de comparación de valores propios de Cheng compara el primer valor propio λ 1 ( B M ( p , r )) del problema de Dirichlet en B M ( p , r ) con el primer valor propio en B N ( k ) ( r ) para valores adecuados de k . El teorema tiene dos partes:
- Suponga que K M , la curvatura seccional de M , satisface
- Luego
La segunda parte es un teorema de comparación para la curvatura de Ricci de M :
- Suponga que la curvatura de Ricci de M satisface, para cada campo vectorial X ,
- Luego, con la misma notación anterior,
SY Cheng usó el teorema de Barta para derivar el teorema de comparación de valores propios. Como caso especial, si k = −1 e inj ( p ) = ∞, la desigualdad de Cheng se convierte en λ * ( N ) ≥ λ * ( H n (−1)) que es la desigualdad de McKean . [2]
Ver también
- Teorema de comparación
- Teorema de comparación de valores propios
Referencias
Citas
- ^ Chavel 1984 , p. 77
- ^ Chavel 1984 , p. 70
Bibliografía
- Bessa, GP; Montenegro, JF (2008), "Sobre el teorema de comparación de valores propios de Cheng", Procedimientos matemáticos de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 144 (3): 673–682, doi : 10.1017 / s0305004107000965 , ISSN 0305-0041.
- Chavel, Isaac (1984), Autovalores en la geometría de Riemann , Pure Appl. Math., 115 , Academic Press.
- Cheng, Shiu Yuen (1975a), "Funciones propias y valores propios de Laplacian", Geometría diferencial (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXVII, Stanford Univ., Stanford, Calif., 1973), Parte 2 , Providence, RI: Sociedad Americana de Matemáticas , págs. 185-193, MR 0378003
- Cheng, Shiu Yuen (1975b), "Teoremas de comparación de valores propios y sus aplicaciones geométricas", Matemáticas. Z. , 143 : 289–297, doi : 10.1007 / BF01214381.
- Lee, Jeffrey M. (1990), "Comparación de valores propios para dominios tubulares", Proceedings of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 109 (3): 843–848, doi : 10.2307 / 2048228 , JSTOR 2048228.
- McKean, Henry (1970), "Un límite superior para el espectro de △ en una variedad de curvatura negativa", Journal of Differential Geometry , 4 : 359–366.
- Lee, Jeffrey M .; Richardson, Ken (1998), "Foliaciones de Riemann y comparación de valores propios", Ann. Anal global. Geom. , 16 : 497–525, doi : 10.1023 / A: 1006573301591/