En la teoría de la información , el teorema de Cheung-Marks , [1] llamado así por KF Cheung y Robert J. Marks II , especifica condiciones [2] en las que la restauración de una señal mediante el teorema de muestreo puede resultar mal planteada . Ofrece condiciones en las que "se produce un error de reconstrucción con varianza ilimitada cuando se agrega un ruido de varianza limitada a las muestras". [3]
Fondo
En el teorema de muestreo, la incertidumbre de la interpolación medida por la varianza del ruido es la misma que la incertidumbre de los datos de la muestra cuando el ruido es iid [4] En su artículo clásico de 1948 sobre la fundación de la teoría de la información , Claude Shannon ofreció la siguiente generalización de la teorema de muestreo: [5]
Los 2 números TW utilizados para especificar la función no necesitan ser las muestras igualmente espaciadas utilizadas anteriormente. Por ejemplo, las muestras pueden estar espaciadas de manera desigual, aunque, si hay un agrupamiento considerable, las muestras deben conocerse con mucha precisión para dar una buena reconstrucción de la función. El proceso de reconstrucción también está más involucrado con el espaciamiento desigual. Además, se puede demostrar que el valor de la función y su derivada en cualquier otro punto muestral son suficientes. El valor y la primera y segunda derivadas en cada tercer punto de muestra dan un conjunto de parámetros aún diferente que determinan de forma única la función. En términos generales, cualquier conjunto de 2 números independientes TW asociados con la función se puede utilizar para describirla.
Aunque es cierto en ausencia de ruido, muchas de las expansiones propuestas por Shannon se vuelven mal planteadas . Una cantidad de ruido arbitrariamente pequeña en los datos hace que la restauración sea inestable. Tales expansiones de muestreo no son útiles en la práctica ya que el ruido de muestreo, como el ruido de cuantificación , descarta la interpolación estable y, por lo tanto, cualquier uso práctico.
Ejemplo
La sugerencia de Shannon de muestreo simultáneo de la señal y su derivada a la mitad de la tasa de Nyquist da como resultado una interpolación con buen comportamiento. [6] El teorema de Cheung-Marks muestra de forma contraintuitiva que la señal entrelazada y las muestras derivadas hace que el problema de la restauración esté mal planteado. [1] [2]
El teorema también muestra que la sensibilidad aumenta con el orden de la derivada. [7]
El teorema
Generalmente, el teorema de Cheung-Marks muestra que el teorema de muestreo se vuelve mal planteado cuando el área ( integral ) de la magnitud al cuadrado de la función de interpolación en todo el tiempo no es finita. [1] [2] "Si bien el concepto de muestreo generalizado es relativamente sencillo, la reconstrucción no siempre es factible debido a posibles inestabilidades". [8]
Referencias
- ^ a b c J.L. Brown y SDCabrera, "Sobre la buena postura de la expansión muestral generalizada de Papoulis", IEEE Transactions on Circuits and Systems, Mayo de 1991 Volumen: 38, Número 5, págs. 554–556
- ^ a b c K.F. Cheung y RJ Marks II , "Teoremas de muestreo mal planteados", IEEE Transactions on Circuits and Systems, vol. CAS-32, págs. 829-835 (1985).
- ^ D. Seidner, "Expansión de muestreo vectorial", transacciones IEEE sobre procesamiento de señales. v. 48. no. 5. 2000. p. 1401-1416.
- ^ RC Bracewell, La transformada de Fourier y sus aplicaciones, McGraw Hill (1968)
- ^ Claude E. Shannon, "Comunicación en presencia de ruido", Proc. Instituto de Ingenieros de Radio, vol. 37, núm. 1, págs. 10-21, enero de 1949. Reimpresión como papel clásico en: Proc. IEEE , vol. 86, No. 2, (febrero de 1998)
- ^ Athanasios Papoulis, Análisis de señales, McGraw-Hill Companies (mayo de 1977)
- ^ Unser, M .; Zerubia, J. (1997). "Muestreo generalizado: análisis de estabilidad y rendimiento". Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales . 45 (12): 2941-2950. doi : 10.1109 / 78.650255 .
- ^ M. Unser, "Muestreo - 50 años después de Shannon", Actas del IEEE, Vol 88, Número 4, págs. 569–587, abril de 2000