Base de Chevalley

En matemáticas, una base de Chevalley para un álgebra de Lie compleja simple es una base construida por Claude Chevalley con la propiedad de que todas las constantes de estructura son números enteros. Chevalley usó estas bases para construir análogos de grupos de Lie sobre campos finitos , llamados grupos de Chevalley . La base Chevalley es la base Cartan-Weyl , pero con una normalización diferente.

Los generadores de un grupo de Lie se dividen en los generadores H y E indexados por raíces simples y sus negativos . La base Cartan-Weyl puede escribirse como ${\ Displaystyle \ pm \ alpha _ {i}}$

{\ Displaystyle [H_ {i}, H_ {j}] = 0}

{\ Displaystyle [H_ {i}, E _ {\ alpha}] = \ alpha _ {i} E _ {\ alpha}}

Definiendo la raíz dual o coroot de como ${\ Displaystyle \ alpha}$

{\ Displaystyle \ alpha ^ {\ vee} = {\ frac {2 \ alpha} {(\ alpha, \ alpha)}}}

Se puede realizar un cambio de base para definir

{\ Displaystyle H _ {\ alpha _ {i}} = (\ alpha _ {i} ^ {\ vee}, H)}

Los enteros de Cartan son

{\ Displaystyle A_ {ij} = (\ alpha _ {i}, \ alpha _ {j} ^ {\ vee})}

Las relaciones resultantes entre los generadores son las siguientes:

{\ Displaystyle [H _ {\ alpha _ {i}}, H _ {\ alpha _ {j}}] = 0}

{\ Displaystyle [H _ {\ alpha _ {i}}, E _ {\ alpha _ {j}}] = A_ {ji} E _ {\ alpha _ {j}}}

{\ Displaystyle [E _ {- \ alpha _ {i}}, E _ {\ alpha _ {i}}] = H _ {\ alpha _ {i}}}

{\ Displaystyle [E _ {\ beta}, E _ {\ gamma}] = \ pm (p + 1) E _ {\ beta + \ gamma}}

donde en la última relación está el mayor entero positivo tal que es una raíz y consideramos si no es una raíz. ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle \ gamma -p \ beta}$ ${\ Displaystyle E _ {\ beta + \ gamma} = 0}$ ${\ Displaystyle \ beta + \ gamma}$

Para determinar el signo en la última relación uno correcciones de una ordenación de raíces que respeta adición, es decir, si a continuación, siempre que los cuatro son raíces. Entonces llamamos a un par de raíces extraespeciales si ambas son positivas y es mínima entre todas las que ocurren en pares de raíces positivas satisfactorias . El signo de la última relación puede elegirse arbitrariamente siempre que sea un par de raíces extraespecial. Esto luego determina los signos de todos los pares de raíces restantes. $\beta \prec \gamma$ $\beta +\alpha \prec \gamma +\alpha$ $(\beta ,\gamma )$ $\beta$ $\beta _{0}$ $(\beta _{0},\gamma _{0})$ $\beta _{0}+\gamma _{0}=\beta +\gamma$ $(\beta ,\gamma )$