En teoría de números, el teorema de Chevalley-Warning implica que ciertas ecuaciones polinómicas en un número suficiente de variables en un campo finito tienen soluciones. Fue probado por Ewald Warning ( 1935 ) y una forma ligeramente más débil del teorema, conocida como teorema de Chevalley , fue probada por Chevalley ( 1935 ). El teorema de Chevalley implicaba la conjetura de Artin y Dickson de que los campos finitos son campos casi algebraicamente cerrados ( Artin 1982 , página x).
Declaración de los teoremas
Dejar ser un campo finito y ser un conjunto de polinomios tal que el número de variables satisfaga
dónde es el grado total de. Los teoremas son enunciados sobre las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones polinomiales
- El teorema de Chevalley-Warning establece que el número de soluciones comuneses divisible por la característica de . O en otras palabras, la cardinalidad del conjunto de es modulo .
- El teorema de Chevalley establece que si el sistema tiene la solución trivial, es decir, si los polinomios no tienen términos constantes, entonces el sistema también tiene una solución no trivial .
El teorema de Chevalley es una consecuencia inmediata del teorema de Chevalley-Warning ya que es al menos 2.
Ambos teoremas son posibles en el sentido de que, dado cualquier , la lista tiene grado total y solo la solución trivial. Alternativamente, usando solo un polinomio, podemos tomar f 1 como el polinomio de grado n dado por la norma de x 1 a 1 + ... + x n a n donde los elementos a forman una base del campo finito de orden p n .
Warning demostró otro teorema, conocido como segundo teorema de Warning, que establece que si el sistema de ecuaciones polinomiales tiene la solución trivial, entonces tiene al menos soluciones donde es el tamaño del campo finito y . El teorema de Chevalley también se sigue directamente de esto.
Prueba del teorema de Warning
Observación: si luego
así que la suma se acabó de cualquier polinomio en de grado menor que también se desvanece.
El número total de soluciones comunes módulo de es igual a
porque cada término es 1 para una solución y 0 en caso contrario. Si la suma de los grados de los polinomioses menor que n, entonces esto desaparece con la observación anterior.
Conjetura de Artin
Es una consecuencia del teorema de Chevalley que los campos finitos son casi algebraicamente cerrados . Esto había sido conjeturado por Emil Artin en 1935. La motivación detrás de la conjetura de Artin fue su observación de que los campos casi algebraicamente cerrados tienen un grupo de Brauer trivial , junto con el hecho de que los campos finitos tienen un grupo de Brauer trivial por el teorema de Wedderburn .
El teorema de Ax-Katz
El teorema de Ax-Katz , que lleva el nombre de James Axe y Nicholas Katz , determina con mayor precisión una potencia de la cardinalidad de dividiendo el número de soluciones; aquí, si es el más grande de los , luego el exponente puede tomarse como la función de techo de
El resultado de Ax-Katz tiene una interpretación en la cohomología étale como un resultado de divisibilidad para los (recíprocos de) los ceros y polos de la función zeta local . Es decir, el mismo poder dedivide cada uno de estos números enteros algebraicos .
Ver también
Referencias
- Artin, Emil (1982), Lang, Serge .; Tate, John (eds.), Documentos recopilados , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90686-7, MR 0671416
- Ax, James (1964), "Ceros de polinomios sobre campos finitos", American Journal of Mathematics , 86 : 255-261, doi : 10.2307 / 2373163 , MR 0160775
- Chevalley, Claude (1935), "Démonstration d'une hypothèse de M. Artin", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (en francés), 11 : 73–75, doi : 10.1007 / BF02940714 , JFM 61.1043.01 , Zbl 0011.14504
- Katz, Nicholas M. (1971), "Sobre un teorema de Ax", Amer. J. Math. , 93 (2): 485–499, doi : 10.2307 / 2373389
- Advertencia, Ewald (1935), "Bemerkung zur vorstehenden Arbeit von Herrn Chevalley", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (en alemán), 11 : 76–83, doi : 10.1007 / BF02940715 , JFM 61.1043.02 , Zbl 0011.14601
- Serre, Jean-Pierre (1973), Un curso de aritmética , págs. 5-6 , ISBN 0-387-90040-3
enlaces externos
- "Pruebas del teorema de advertencia de Chevalley" .