Grupo Brauer

Grupo abeliano relacionado con álgebras de división

En matemáticas , el grupo de Brauer de un campo K es un grupo abeliano cuyos elementos son clases de equivalencia de Morita de álgebras centrales simples sobre K , con la suma dada por el producto tensorial de álgebras. Fue definido por el algebrista Richard Brauer .

El grupo Brauer surgió de los intentos de clasificar las álgebras de división sobre un campo. También se puede definir en términos de cohomología de Galois . De manera más general, el grupo de Brauer de un esquema se define en términos de álgebras de Azumaya , o de manera equivalente, usando paquetes proyectivos .

Construcción

Un álgebra simple central (CSA) sobre un campo K es una dimensión finita asociativo K -algebra A tal que A es un anillo sencillo y el centro de A es igual a K . Tenga en cuenta que las CSA en general no son álgebras de división, aunque las CSA se pueden utilizar para clasificar las álgebras de división.

Por ejemplo, los números complejos C forman un CSA sobre sí mismos, pero no sobre R (el centro es el propio C , por lo que es demasiado grande para ser CSA sobre R ). Las álgebras de división de dimensión finita con centro R (que significa que la dimensión sobre R es finita) son los números reales y los cuaterniones por un teorema de Frobenius , mientras que cualquier matriz suena sobre los reales o cuaterniones - M ( n , R ) o M ( n , H ) - es un CSA sobre los reales, pero no un álgebra de división (si n > 1).

Se obtiene una relación de equivalencia en CSA más de K por el teorema de Artin-Wedderburn ( Wedderburn parte 's, de hecho), para expresar cualquier CSA como M ( n , D ) por alguna división álgebra D . Si nos fijamos solo en D , es decir, si imponemos una relación de equivalencia identificar M ( m , D ) con M ( n , D ) para todos los enteros positivos m y n , se obtiene la equivalencia Brauer relación de CSA más de K. Los elementos del grupo Brauer son clases de CSA más de la equivalencia Brauer K .

Dadas las álgebras centrales simples A y B , uno puede mirar su producto tensorial A ⊗ B como un K -álgebra (ver producto tensorial de R-álgebras ). Resulta que esto siempre es central simple. Una manera slick para ver esto es utilizar una caracterización: un simple central de álgebra A sobre K es un K -algebra que se convierte en un anillo de la matriz cuando extendemos el campo de escalares a una clausura algebraica de K . Este resultado también muestra que la dimensión de un álgebra simple central A como K-el espacio vectorial es siempre un cuadrado. El grado de A se define como la raíz cuadrada de su dimensión.

Como resultado, las clases de isomorfismo de CSA sobre K forman un producto monoide bajo tensor, compatible con la equivalencia de Brauer, y las clases de Brauer son todas invertibles : la inversa de un álgebra A viene dada por su álgebra opuesta A ^op (el anillo opuesto con la misma acción de K ya que la imagen de K → A está en el centro de A ). Explícitamente, para un CSA A tenemos A ⊗ A ^op = M ( n ² , K ), donde nes el grado de A sobre K .

El grupo de Brauer de cualquier campo es un grupo de torsión . Con más detalle, defina el período de un álgebra simple central A sobre K como su orden como elemento del grupo Brauer. Definir el índice de A a ser el grado de la álgebra de división que es Brauer equivalente a A . Entonces, el período de A divide el índice de A (y por lo tanto es finito). ^[1]

Ejemplos

• En los siguientes casos, cada álgebra de división central de dimensión finita sobre un campo K es la propia K , de modo que el grupo de Brauer Br ( K ) es trivial :
  • K es un campo algebraicamente cerrado .
  • K es un campo finito ( teorema de Wedderburn ). ^{[2] De manera} equivalente, todo anillo de división finita es conmutativo.
  • K es el campo de función de una curva algebraica sobre un campo algebraicamente cerrado ( teorema de Tsen ). ^[3] De manera más general, el grupo Brauer desaparece para cualquier campo C 1 .
  • K es una extensión algebraica de Q que contiene todas las raíces de la unidad . ^[2]
• El grupo de Brauer Br ( R ) del campo R de números reales es el grupo cíclico de orden dos. Hay sólo dos álgebras no isomorfos división de bienes con centro R : R sí mismo y el cuaternión álgebra H . ^[4] Dado que H ⊗ H ≅ M (4, R ), la clase de H tiene el orden dos en el grupo de Brauer.
• Sea K un campo local no arquimediano , lo que significa que K está completo bajo una valoración discreta con un campo de residuo finito. Entonces Br ( K ) es isomorfo a Q / Z . ^[5]

Variedades Severi-Brauer

Otra interpretación importante del grupo de Brauer de un campo K es que clasifica las variedades proyectivas más K que se convierten en isomorfo al espacio proyectivo más de una clausura algebraica de K . Tal variedad se llama una variedad Severi-Brauer , y hay una correspondencia de uno a uno entre las clases de isomorfismo de variedades Severi-Brauer de dimensión n -1 sobre K y los álgebra simple central de grado n sobre K . ^[6]

Por ejemplo, las variedades Severi-Brauer de dimensión 1 son exactamente las lisas cónicas en el plano proyectivo sobre K . Para un campo K de característica no 2, cada cónica sobre K es isomorfo a una de la forma ax ² + por ² = z ² para algunos elementos no nulos de un y b de K . El álgebra simple central correspondiente es el álgebra de cuaterniones ^[7]

${\displaystyle (a,b)=K\langle i,j\rangle /(i^{2}=a,j^{2}=b,ij=-ji).}$

La cónica es isomorfa a la línea proyectiva P ¹ sobre K si y solo si el álgebra de cuaterniones correspondiente es isomorfa al álgebra de matrices M (2, K ).

Álgebras cíclicas

Para un entero positivo n , sea K un campo en el que n es invertible de manera que K contiene una raíz n- ésima primitiva de la unidad ζ. Para elementos distintos de cero a y b de K , el álgebra cíclica asociada es el álgebra simple central de grado n sobre K definido por

${\displaystyle (a,b)_{\zeta }=K\langle u,v\rangle /(u^{n}=a,v^{n}=b,uv=\zeta vu).}$

Las álgebras cíclicas son las álgebras simples centrales mejor entendidas. (Cuando n no es invertible en K o K no tiene una raíz n- ésima primitiva de la unidad, una construcción similar da el álgebra cíclica (χ, a ) asociada a una extensión cíclica Z / n χ de K y un elemento distinto de cero a de K . ^[8] )

El teorema de Merkurjev-Suslin en la teoría algebraica K tiene una fuerte consecuencia sobre el grupo de Brauer. Es decir, para un entero positivo n , sea K un campo en el que n es invertible, de modo que K contiene una raíz n- ésima primitiva de la unidad. Entonces, el subgrupo del grupo de Brauer de K asesinado por n es generado por álgebras cíclicas de grado n . ^{[9] De manera} equivalente, cualquier álgebra de división de período que divide n es equivalente de Brauer a un producto tensorial de álgebras cíclicas de grado n . Incluso para un número primo p, hay ejemplos que muestran que un álgebra de división de período p no necesita ser realmente isomórfico a un producto tensorial de álgebras cíclicas de grado p . ^[10]

Es un gran problema abierto (planteado por Albert ) si cada álgebra de división de primer grado sobre un campo es cíclica. Esto es cierto si el grado es 2 o 3, pero el problema está muy abierto para los números primos al menos 5. Los resultados conocidos son solo para clases especiales de campos. Por ejemplo, si K es un campo global o un campo local , entonces un álgebra de división de cualquier grado sobre K es cíclica, por Albert– Brauer - Hasse - Noether . ^[11] Saltman demostró un resultado de "dimensiones superiores" en la misma dirección: si K es un campo de grado de trascendencia 1 sobre el campo local Q_p , entonces cada álgebra de división de grado primo l ≠ p sobre K es cíclica. ^[12]

El problema del índice de período

Para cualquier álgebra central simple A sobre un campo K , el período de A divide el índice de A y los dos números tienen los mismos factores primos. ^[13] El problema del índice de período consiste en acotar el índice en términos del período, para los campos K de interés. Por ejemplo, si A es un álgebra simple central sobre un campo local o de campo global, entonces Albert-Brauer-Hasse-Noether mostró que el índice de A es igual al período de A . ^[11]

Para un álgebra simple central A sobre un campo K de grado de trascendencia n sobre un campo algebraicamente cerrado, se conjetura que ind ( A ) divide por ( A ) ^{n −1} . Esto es cierto para n ≤ 2, siendo el caso n = 2 un avance importante de de Jong , agudizado en característica positiva por de Jong-Starr y Lieblich. ^[14]

Teoría del campo de clase

El grupo Brauer juega un papel importante en la formulación moderna de la teoría del campo de clases . Si K _v es un campo local no arquimediano, la teoría del campo de clases local da un isomorfismo canónico inv _v : Br ( K _v ) → Q / Z , el invariante de Hasse . ^[5]

El caso de un campo global K (como un campo numérico ) es abordado por la teoría de campos de clases globales . Si D es un álgebra simple central sobre K y v es un lugar de K , entonces D ⊗ K _v es un álgebra simple central sobre K _v , la finalización de K en el v . Esto define un homomorfismo del grupo Brauer de K al grupo Brauer de K _v . Un álgebra D simple central dada divide para todos, excepto para un número finitov , de modo que la imagen de D bajo casi todos esos homomorfismos es 0. El grupo de Brauer Br ( K ) encaja en una secuencia exacta construida por Hasse: ^{[15] [16]}

${\displaystyle 0\rightarrow {\textrm {Br}}(K)\rightarrow \bigoplus _{v\in S}{\textrm {Br}}(K_{v})\rightarrow \mathbf {Q} /\mathbf {Z} \rightarrow 0,}$

donde S es el conjunto de todos los lugares de K y la flecha derecha es la suma de las invariantes locales; el grupo de Brauer de los números reales se identifica con (1/2) Z / Z . La inyectividad de la flecha izquierda es el contenido del teorema de Albert-Brauer-Hasse-Noether .

El hecho de que la suma de todos los invariantes locales de un álgebra simple central sobre K sea ​​cero es una ley de reciprocidad típica . Por ejemplo, aplicar esto a un álgebra de cuaterniones ( a , b ) sobre Q da la ley de reciprocidad cuadrática .

Cohomología de Galois

Para un campo arbitrario K , el grupo de Brauer se puede expresar en términos de cohomología de Galois de la siguiente manera: ^[17]

${\displaystyle {\textrm {Br}}(K)\cong H^{2}(K,G_{m}),}$

donde G _m denota el grupo multiplicativo , visto como un grupo algebraico sobre K . Más concretamente, el grupo cohomology indica medios H ² (Gal ( K _s / K ), K _s ^* ), donde K _s denota un cierre separable de K .

El isomorfismo del grupo de Brauer con un grupo de cohomología de Galois se puede describir como sigue. El grupo de automorfismo del álgebra de n × n matrices es el grupo lineal proyectivo PGL ( n ). Dado que todas las álgebras centrales simples sobre K se vuelven isomórficas al álgebra matricial sobre un cierre separable de K , el conjunto de clases de isomorfismo de álgebras centrales simples de grado n sobre K se puede identificar con el conjunto de cohomología de Galois H ¹ ( K , PGL ( n )). La clase de un álgebra simple central en H ² ( K, G _m ) es la imagen de su clase en H ¹ bajo el homomorfismo de límite

${\displaystyle H^{1}(K,PGL(n))\rightarrow H^{2}(K,G_{m})}$

asociado a la secuencia corta exacta 1 → G _m → GL (n) → PGL (n) → 1.

El grupo Brauer de un esquema

El grupo Brauer fue generalizado de campos a anillos conmutativos por Auslander y Goldman . Grothendieck fue más allá al definir el grupo Brauer de cualquier esquema .

Hay dos maneras de definir el grupo de Brauer de un esquema X , utilizando álgebra Azumaya más de X o haces de proyectivas más de X . La segunda definición involucra paquetes proyectivos que son localmente triviales en la topología étale , no necesariamente en la topología Zariski . En particular, un paquete proyectivo se define como cero en el grupo Brauer si y solo si es la proyectivización de algún paquete vectorial.

El grupo de Brauer cohomológico de un esquema cuasi-compacto X se define como el subgrupo de torsión del grupo de cohomología étale H ² ( X , G _m ). (El grupo completo H ² ( X , G _m ) no necesita ser torsión, aunque es torsión para los esquemas X regulares . ^[18] ) El grupo Brauer es siempre un subgrupo del grupo Brauer cohomológico. Gabber demostró que el grupo de Brauer es igual al grupo de Brauer cohomológico para cualquier esquema con un amplio paquete de líneas (por ejemplo, cualquieresquema cuasi-proyectivo sobre un anillo conmutativo). ^[19]

Se puede considerar que todo el grupo H ² ( X , G _m ) clasifica los gerbios sobre X con el grupo de estructura G _m .

Para variedades proyectivas suaves sobre un campo, el grupo Brauer es un invariante biracional . Ha sido fructífero. Por ejemplo, cuando X también está conectado racionalmente sobre los números complejos, el grupo de Brauer de X es isomorfo al subgrupo de torsión del grupo de cohomología singular H ³ ( X , Z ), que por lo tanto es un invariante biracional. Artin y Mumford utilizaron esta descripción del grupo Brauer para dar el primer ejemplo de una variedad uniracional X sobre C que no es establemente racional (es decir, ningún producto deX con un espacio proyectivo es racional). ^[20]

Relación con la conjetura de Tate

Artin conjeturó que todo esquema adecuado sobre los números enteros tiene un grupo de Brauer finito. ^[21] Esto está lejos de ser conocido incluso en el caso especial de una variedad proyectiva suave X sobre un campo finito. De hecho, la finitud del grupo de Brauer para superficies en ese caso es equivalente a la conjetura de Tate para divisores en X , uno de los principales problemas en la teoría de ciclos algebraicos . ^[22]

Para un esquema integral regular de dimensión 2 que es plano y propio sobre el anillo de números enteros de un campo numérico, y que tiene una sección , la finitud del grupo Brauer es equivalente a la finitud del grupo Tate-Shafarevich Ш para el jacobiano variedad de la fibra general (una curva sobre un campo numérico). ^[23] La finitud de Ш es un problema central en la aritmética de curvas elípticas y, en general, variedades abelianas .

La obstrucción de Brauer-Manin

Deje que X sea una variedad proyectiva suave sobre un campo de número K . El principio de Hasse predeciría que si X tiene un punto racional sobre todas las terminaciones K _v de K , entonces X tiene un punto K -racional. El principio de Hasse se aplica a algunas clases especiales de variedades, pero no en general. Manin usó el grupo de Brauer de X para definir la obstrucción de Brauer-Manin , que se puede aplicar en muchos casos para mostrar que X no tiene puntos K incluso cuando Xtiene puntos por encima de todas las terminaciones de K .

Notas

1. Farb y Dennis (1993), Proposición 4.16.
2. Serre (1979), p. 162.
3. Gille y Szamuely (2006), Teorema 6.2.8.
4. Serre (1979), p. 163.
5. Serre (1979), p. 193.
6. Gille y Szamuely (2006), sección 5.2.
7. Gille y Szamuely (2006), Teorema 1.4.2.
8. Gille y Szamuely (2006), Proposición 2.5.2.
9. Gille y Szamuely (2006), Teorema 2.5.7.
10. Gille y Szamuely (2006), Observación 2.5.8.
11. Pierce (1982), sección 18.6.
12. Saltman (2007).
13. Gille y Szamuely (2006), Proposición 4.5.13.
14. de Jong (2004).
15. Gille y Szamuely (2006), p. 159.
16. Pierce (1982), sección 18.5.
17. Serre (1979), págs. 157-159.
18. Milne (1980), Corolario IV.2.6.
19. de Jong, resultado de Gabber.
20. Colliot-Thélène (1995), Proposición 4.2.3 y sección 4.2.4.
21. Milne (1980), Pregunta IV.2.19.
22. Tate (1994), Proposición 4.3.
23. Grothendieck (1968), Le groupe de Brauer III, Proposición 4.5.

Referencias

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Enlaces externos

• AJ de Jong. Un resultado de Gabber.