En matemáticas , un campo F se llama casi algebraicamente cerrado (o C 1 ) si cada polinomio homogéneo no constante P sobre F tiene un cero no trivial siempre que el número de sus variables sea mayor que su grado. La idea de campos casi algebraicamente cerrados fue investigada por CC Tsen , un estudiante de Emmy Noether , en un artículo de 1936 ( Tsen 1936 ); y más tarde por Serge Lang en su disertación de la Universidad de Princeton de 1951 y en su artículo de 1952 ( Lang 1952 ). La idea en sí se atribuye al asesor de Lang.Emil Artin .
Formalmente, si P es un polinomio homogéneo no constante en variables
- X 1 , ..., X N ,
y de grado d satisfactorio
- d < N
entonces tiene un cero no trivial sobre F ; es decir, para algunos x i en F , no todos 0, tenemos
- P ( x 1 , ..., x N ) = 0.
En el lenguaje geométrico, la hipersuperficie definido por P , en espacio proyectivo de grado N - 2, a continuación, tiene un punto sobre F .
Ejemplos de
- Cualquier campo algebraicamente cerrado es casi algebraicamente cerrado. De hecho, cualquier polinomio homogéneo en al menos dos variables sobre un campo algebraicamente cerrado tiene un cero no trivial. [1]
- Cualquier campo finito está casi algebraicamente cerrado por el teorema de Chevalley-Warning . [2] [3] [4]
- Los campos de función algebraica de dimensión 1 sobre campos algebraicamente cerrados están casi algebraicamente cerrados por el teorema de Tsen . [3] [5]
- La extensión máxima sin ramificar de un campo completo con una valoración discreta y un campo de residuo perfecto es casi algebraicamente cerrada. [3]
- Un campo completo con una valoración discreta y un campo de residuo cerrado algebraicamente se cierra casi algebraicamente por un resultado de Lang. [3] [6]
- Un campo pseudo algebraicamente cerrado de característica cero es casi algebraicamente cerrado. [7]
Propiedades
- Cualquier extensión algebraica de un campo casi algebraicamente cerrado es casi algebraicamente cerrado.
- El grupo de Brauer de una extensión finita de un campo casi algebraicamente cerrado es trivial. [8] [9] [10]
- Un campo casi algebraicamente cerrado tiene una dimensión cohomológica como máximo 1. [10]
C k campos
Los campos casi algebraicamente cerrados también se denominan C 1 . Un campo C k , más generalmente, es aquel para el cual cualquier polinomio homogéneo de grado d en N variables tiene un cero no trivial, siempre que
- d k < N ,
para k ≥ 1. [11] Lang introdujo y estudió por primera vez la afección. [10] Si un campo es C i, entonces también lo es una extensión finita. [11] [12] Los campos C 0 son precisamente los campos algebraicamente cerrados. [13] [14]
Lang y Nagata demostraron que si un campo es C k , entonces cualquier extensión del grado de trascendencia n es C k + n . [15] [16] [17] El k más pequeño tal que K es un campo C k (si no existe tal número), se llama la dimensión diophantine dd ( K ) de K . [13]
Campos C 1
Todo campo finito es C 1 . [7]
C 2 campos
Propiedades
Suponga que el campo k es C 2 .
- Cualquier campo de sesgo D finito sobre k como centro tiene la propiedad de que la norma reducida D ∗ → k ∗ es sobreyectiva. [dieciséis]
- Toda forma cuadrática en 5 o más variables sobre k es isótropa . [dieciséis]
Conjetura de Artin
Artin conjeturó que los campos p -ádicos eran C 2 , pero Guy Terjanian encontró contraejemplos p -ádicos para todos los p . [18] [19] El teorema de Ax-Kochen aplicó métodos de la teoría de modelos para demostrar que la conjetura de Artin era cierta para Q p con p lo suficientemente grande (dependiendo de d ).
Campos débilmente C k
Un campo K es débilmente C k , d si para cada polinomio homogéneo de grado d en N variables que satisfacen
- d k < N
la Zariski cerrado conjunto V ( f ) de P n ( K ) contiene un subvariedad que es Zariski cerró sobre K .
Un campo que es débilmente C k , d para cada d es débilmente C k . [2]
Propiedades
- El campo AC k es débilmente C k . [2]
- Un campo PAC perfecto débilmente C k es C k . [2]
- Un campo K es débilmente C k , d si y sólo si cada forma que satisfaga las condiciones tiene un punto x Se definido sobre un campo que es una extensión principal de K . [20]
- Si un campo es débilmente C k , entonces cualquier extensión del grado de trascendencia n es débilmente C k + n . [17]
- Cualquier extensión de un campo algebraicamente cerrado es débilmente C 1 . [21]
- Cualquier campo con grupo de Galois absoluto procíclico es débilmente C 1 . [21]
- Cualquier campo de característica positiva es débilmente C 2 . [21]
- Si el campo de los números racionales y los campos de función son débilmente C 1 , entonces cada campo es débilmente C 1 . [21]
Ver también
- Teorema de Brauer sobre formas
- Rango Tsen
Citas
- ^ Fried y Jarden (2008) p.455
- ↑ a b c d Fried y Jarden (2008) p.456
- ↑ a b c d Serre (1979) p.162
- ^ Gille y Szamuley (2006) p.142
- ^ Gille y Szamuley (2006) p.143
- ^ Gille y Szamuley (2006) p.144
- ↑ a b Fried y Jarden (2008) p.462
- ↑ Lorenz (2008) p.181
- ↑ Serre (1979) p.161
- ↑ a b c Gille y Szamuely (2006) p.141
- ↑ a b Serre (1997) p.87
- ↑ Lang (1997) p.245
- ↑ a b Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2008). Cohomología de campos numéricos . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 323 (2ª ed.). Springer-Verlag . pag. 361. ISBN 3-540-37888-X.
- ↑ Lorenz (2008) p.116
- ↑ Lorenz (2008) p.119
- ↑ a b c Serre (1997) p.88
- ↑ a b Fried y Jarden (2008) p.459
- ^ Terjanian, Guy (1966). "Un contre-example à une conjecture d'Artin". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série AB (en francés). 262 : A612. Zbl 0133.29705 .
- ↑ Lang (1997) p.247
- ^ Fried y Jarden (2008) p.457
- ↑ a b c d Fried y Jarden (2008) p.461
Referencias
- Ax, James ; Kochen, Simon (1965). "Problemas diofánticos sobre los campos locales I". Amer. J. Math . 87 : 605–630. doi : 10.2307 / 2373065 . Zbl 0136.32805 .
- Fried, Michael D .; Jarden, Moshe (2008). Aritmética de campo . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 11 (tercera edición revisada). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001 .
- Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Álgebras simples centrales y cohomología de Galois . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 101 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-86103-9. Zbl 1137.12001 .
- Greenberg, MJ (1969). Conferencias de formas en muchas variables . Serie de notas de clase de matemáticas. Nueva York-Amsterdam: WA Benjamin. Zbl 0185.08304 .
- Lang, Serge (1952), "Sobre cierre cuasi algebraico", Annals of Mathematics , 55 : 373–390, doi : 10.2307 / 1969785 , Zbl 0046.26202
- Lang, Serge (1997). Estudio de geometría diofántica . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051 .
- Lorenz, Falko (2008). Álgebra. Volumen II: Campos con Estructura, Álgebras y Temas Avanzados . Saltador. págs. 109-126. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl 1130.12001 .
- Serre, Jean-Pierre (1979). Campos locales . Textos de Posgrado en Matemáticas . 67 . Traducido por Greenberg, Marvin Jay . Springer-Verlag . ISBN 0-387-90424-7. Zbl 0423.12016 .
- Serre, Jean-Pierre (1997). Cohomología de Galois . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61990-9. Zbl 0902.12004 .
- Tsen, C. (1936), "Zur Stufentheorie der Quasi-algebraisch-Abgeschlossenheit kommutativer Körper", J. Chinese Math. Soc. , 171 : 81–92, Zbl 0015.38803