En matemáticas e informática , la función de piso es la función que toma como entrada un número real , y da como salida el mayor entero menor o igual que, denotado o . Del mismo modo, la función de techo se asigna al menor número entero mayor o igual que , denotado o . [1]
Por ejemplo, y , tiempo .
La parte integral o parte entera de x , a menudo denotada es si x no es negativo, yde lo contrario. En palabras, este es el número entero que tiene el mayor valor absoluto menor o igual que el valor absoluto de x .
Notación
La parte integral o parte entera de un número ( partie entière en el original) fue definida por primera vez en 1798 por Adrien-Marie Legendre en su prueba de la fórmula de Legendre .
Carl Friedrich Gauss introdujo la notación de corchetesen su tercera prueba de reciprocidad cuadrática (1808). [2] Esto siguió siendo el estándar [3] en matemáticas hasta que Kenneth E. Iverson introdujo, en su libro de 1962 A Programming Language , los nombres "piso" y "techo" y las notaciones correspondientes y . [4] [5] Ambas notaciones se utilizan ahora en matemáticas, [6] aunque en este artículo se seguirá la notación de Iverson.
En algunas fuentes, negrita o corchetes dobles se utilizan para suelo y soportes invertidos o] x [para techo. [7] [8] A vecesse toma en el sentido de la función de redondeo hacia cero. [ cita requerida ]
La parte fraccionaria es la función de diente de sierra , denotada porpara x real y definido por la fórmula [9]
Para todo x ,
Ejemplos de
X | Suelo | Techo | Parte fraccional |
---|---|---|---|
2 | 2 | 2 | 0 |
2.4 | 2 | 3 | 0.4 |
2.9 | 2 | 3 | 0,9 |
−2,7 | −3 | −2 | 0,3 |
−2 | −2 | −2 | 0 |
Tipografía
Las funciones de piso y techo generalmente se componen con corchetes izquierdo y derecho, donde faltan las barras horizontales superior (para función de piso) o inferior (para función de techo) ( para piso y para techo). Estos caracteres se proporcionan en Unicode:
- U + 2308 ⌈ TECHO IZQUIERDO (HTML
⌈
·⌈, &LeftCeiling
) - U + 2309 ⌉ TECHO DERECHO (HTML
⌉
·⌉, &RightCeiling
) - U + 230A ⌊ PISO IZQUIERDO (HTML
⌊
·&LeftFloor, ⌊
) - U + 230B ⌋ PISO DERECHO (HTML
⌋
·⌋, &RightFloor
)
En el sistema de composición tipográfica LaTeX , estos símbolos se pueden especificar con los comandos y en modo matemático, y ampliar su tamaño usando y según sea necesario.\lfloor, \rfloor, \lceil
\rceil
\left\lfloor, \right\rfloor, \left\lceil
\right\rceil
Definición y propiedades
Dadas números reales x y y , números enteros k , m , n y el conjunto de números enteros , el suelo y el techo pueden definirse mediante las ecuaciones
Puesto que no es exactamente un número entero en un intervalo semiabierto de longitud uno, para cualquier número real x , hay números enteros únicos m y n satisface la ecuación
dónde y también puede tomarse como la definición de suelo y techo.
Equivalencias
Estas fórmulas se pueden usar para simplificar expresiones que involucran pisos y techos. [10]
En el lenguaje de la teoría del orden , la función de piso es un mapeo residuo , es decir, parte de una conexión de Galois : es el adjunto superior de la función que incrusta los enteros en los reales.
Estas fórmulas muestran cómo la suma de números enteros a los argumentos afecta a las funciones:
Lo anterior nunca es cierto si n no es un número entero; Sin embargo, para cada x e y , las siguientes desigualdades se cumplen:
Relaciones entre las funciones
De las definiciones se desprende claramente que
- con igualdad si y solo si x es un número entero, es decir
De hecho, para números enteros n , las funciones de piso y techo son la identidad :
Negar el argumento cambia el piso y el techo y cambia el letrero:
y:
Negar el argumento complementa la parte fraccionaria:
Las funciones de piso, techo y parte fraccionaria son idempotentes :
El resultado de las funciones de piso o techo anidadas es la función más interna:
debido a la propiedad de identidad de los números enteros.
Cocientes
Si m y n son números enteros y n ≠ 0,
Si n es un número entero positivo [11]
Si m es positivo [12]
Para m = 2, esto implica
De manera más general, [13] para m positivo (Ver identidad de Hermite )
Lo siguiente se puede utilizar para convertir suelos en techos y viceversa ( m positivo) [14]
Para todos m y n enteros positivos estrictamente: [15] [ mejor fuente necesario ]
que, para m y n positivos y coprimos , se reduce a
Puesto que el lado derecho del caso general es simétrica en m y n , esto implica que
Más en general, si m y n son positivos,
A esto a veces se le llama ley de reciprocidad . [dieciséis]
Divisiones anidadas
Para un entero positivo n y números reales arbitrarios m , x : [17]
Continuidad y expansiones de series
Ninguna de las funciones discutidas en este artículo es continua , pero todas son lineales por partes : las funciones, , y tienen discontinuidades en los enteros.
es semicontinuo superior y y son semicontinuos inferiores.
Dado que ninguna de las funciones discutidas en este artículo es continua, ninguna de ellas tiene una expansión en serie de potencias . Dado que el piso y el techo no son periódicos, no tienen expansiones de la serie de Fourier uniformemente convergentes . La función de parte fraccionaria tiene expansión de la serie de Fourier [18]
para x no es un número entero.
En los puntos de discontinuidad, una serie de Fourier converge a un valor que es el promedio de sus límites a la izquierda y a la derecha, a diferencia de las funciones piso, techo y parte fraccionaria: para y fijo y x un múltiplo de y, la serie de Fourier dada converge a y / 2, en lugar de a x mod y = 0. En los puntos de continuidad, la serie converge al valor verdadero.
Usando la fórmula floor (x) = x - {x} da
para x no es un número entero.
Aplicaciones
Operador de mod
Para un entero x y un entero positivo y , la operación de módulo , denotada por x mod y , da el valor del resto cuando x se divide por y . Esta definición se puede extender a bienes x y y , y ≠ 0, por la fórmula
Luego, de la definición de función de piso se deduce que esta operación extendida satisface muchas propiedades naturales. En particular, x mod y siempre está entre 0 e y , es decir,
si y es positivo,
y si y es negativo,
Reciprocidad cuadrática
La tercera prueba de reciprocidad cuadrática de Gauss , modificada por Eisenstein, tiene dos pasos básicos. [19] [20]
Deje que p y q sean distintos números primos impares positivos, y dejar
Primero, el lema de Gauss se usa para mostrar que los símbolos de Legendre están dados por
y
El segundo paso es usar un argumento geométrico para demostrar que
La combinación de estas fórmulas da reciprocidad cuadrática en la forma
Hay fórmulas que usan floor para expresar el carácter cuadrático de números pequeños mod primos impares p : [21]
Redondeo
Para un número real arbitrario , redondeo al entero más cercano con la ruptura del empate hacia el infinito positivo está dado por; el redondeo hacia el infinito negativo se da como.
Si el desempate está lejos de 0, entonces la función de redondeo es , y el redondeo hacia pares se puede expresar con los más engorrosos, que es la expresión anterior para redondear hacia infinito positivo menos un indicador de integralidad para.
Truncamiento
El truncamiento de un número positivo viene dado por El truncamiento de un número negativo viene dado por . Obviamente el truncamiento de es en si mismo .
El truncamiento de cualquier número real puede estar dado por: , donde sgn es la función de signo .
Número de dígitos
El número de dígitos en la base b de un entero positivo k es
Factores de factoriales
Sea n un número entero positivo yp un número primo positivo. El exponente de la mayor potencia de p que divide n ! viene dada por una versión de la fórmula de Legendre [22]
where is the way of writing n in base p. This is a finite sum, since the floors are zero when pk > n.
Beatty sequence
The Beatty sequence shows how every positive irrational number gives rise to a partition of the natural numbers into two sequences via the floor function.[23]
Euler's constant (γ)
There are formulas for Euler's constant γ = 0.57721 56649 ... that involve the floor and ceiling, e.g.[24]
and
Riemann zeta function (ζ)
The fractional part function also shows up in integral representations of the Riemann zeta function. It is straightforward to prove (using integration by parts)[25] that if is any function with a continuous derivative in the closed interval [a, b],
Letting for real part of s greater than 1 and letting a and b be integers, and letting b approach infinity gives
This formula is valid for all s with real part greater than −1, (except s = 1, where there is a pole) and combined with the Fourier expansion for {x} can be used to extend the zeta function to the entire complex plane and to prove its functional equation.[26]
For s = σ + it in the critical strip 0 < σ < 1,
In 1947 van der Pol used this representation to construct an analogue computer for finding roots of the zeta function.[27]
Formulas for prime numbers
The floor function appears in several formulas characterizing prime numbers. For example, since is equal to 1 if m divides n, and to 0 otherwise, it follows that a positive integer n is a prime if and only if[28]
One may also give formulas for producing the prime numbers. For example, let pn be the nth prime, and for any integer r > 1, define the real number α by the sum
Then[29]
A similar result is that there is a number θ = 1.3064... (Mills' constant) with the property that
are all prime.[30]
There is also a number ω = 1.9287800... with the property that
are all prime.[30]
Let π(x) be the number of primes less than or equal to x. It is a straightforward deduction from Wilson's theorem that[31]
Also, if n ≥ 2,[32]
None of the formulas in this section are of any practical use.[33][34]
Solved problems
Ramanujan submitted these problems to the Journal of the Indian Mathematical Society.[35]
If n is a positive integer, prove that
(i)
(ii)
(iii)
Unsolved problem
The study of Waring's problem has led to an unsolved problem:
Are there any positive integers k ≥ 6 such that[36]
- ?
Mahler[37] has proved there can only be a finite number of such k; none are known.
Implementaciones informáticas
In most programming languages, the simplest method to convert a floating point number to an integer does not do floor or ceiling, but truncation. The reason for this is historical, as the first machines used ones' complement and truncation was simpler to implement (floor is simpler in two's complement). FORTRAN was defined to require this behavior and thus almost all processors implement conversion this way. Some consider this to be an unfortunate historical design decision that has led to bugs handling negative offsets and graphics on the negative side of the origin.[citation needed]
A bit-wise right-shift of a signed integer by is the same as . Division by a power of 2 is often written as a right-shift, not for optimization as might be assumed, but because the floor of negative results is required. Assuming such shifts are "premature optimization" and replacing them with division can break software.[citation needed]
Many programming languages (including C, C++,[38][39] C#,[40][41] Java,[42][43] PHP,[44][45] R,[46] and Python[47]) provide standard functions for floor and ceiling, usually called floor
and ceil
, or less commonly ceiling
.[48] The language APL uses ⌊x
for floor. The J Programming Language, a follow-on to APL that is designed to use standard keyboard symbols, uses <.
for floor and >.
for ceiling.[49]ALGOL usesentier
for floor.
Spreadsheet software
Most spreadsheet programs support some form of a ceiling
function. Although the details differ between programs, most implementations support a second parameter—a multiple of which the given number is to be rounded to. For example, ceiling(2, 3)
rounds 2 up to the nearest multiple of 3, giving 3. The definition of what "round up" means, however, differs from program to program.
Microsoft Excel used almost exactly the opposite of standard notation, with INT
for floor, and FLOOR
meaning round-toward-zero, and CEILING
meaning round-away-from-zero.[50] This has followed through to the Office Open XML file format. Excel 2010 now follows the standard definition.[51]
The OpenDocument file format, as used by OpenOffice.org, Libreoffice and others, follows the mathematical definition of ceiling for its ceiling
function, with an optional parameter for Excel compatibility. For example, CEILING(-4.5)
returns −4.
Ver también
- Bracket (mathematics)
- Integer-valued function
- Step function
Notas
- ^ Graham, Knuth, & Patashnik, Ch. 3.1
- ^ Lemmermeyer, pp. 10, 23.
- ^ e.g. Cassels, Hardy & Wright, and Ribenboim use Gauss's notation, Graham, Knuth & Patashnik, and Crandall & Pomerance use Iverson's.
- ^ Iverson, p. 12.
- ^ Higham, p. 25.
- ^ See the Wolfram MathWorld article.
- ^ Mathwords: Floor Function.
- ^ Mathwords: Ceiling Function
- ^ Graham, Knuth, & Patashnik, p. 70.
- ^ Graham, Knuth, & Patashink, Ch. 3
- ^ Graham, Knuth, & Patashnik, p. 73
- ^ Graham, Knuth, & Patashnik, p. 85
- ^ Graham, Knuth, & Patashnik, p. 85 and Ex. 3.15
- ^ Graham, Knuth, & Patashnik, Ex. 3.12
- ^ J.E.blazek, Combinatoire de N-modules de Catalan, Master's thesis, page 17.
- ^ Graham, Knuth, & Patashnik, p. 94
- ^ Graham, Knuth, & Patashnik, p. 71, apply theorem 3.10 with x/m as input and the division by n as function
- ^ Titchmarsh, p. 15, Eq. 2.1.7
- ^ Lemmermeyer, § 1.4, Ex. 1.32–1.33
- ^ Hardy & Wright, §§ 6.11–6.13
- ^ Lemmermeyer, p. 25
- ^ Hardy & Wright, Th. 416
- ^ Graham, Knuth, & Patashnik, pp. 77–78
- ^ These formulas are from the Wikipedia article Euler's constant, which has many more.
- ^ Titchmarsh, p. 13
- ^ Titchmarsh, pp.14–15
- ^ Crandall & Pomerance, p. 391
- ^ Crandall & Pomerance, Ex. 1.3, p. 46. The infinite upper limit of the sum can be replaced with n. An equivalent condition is n > 1 is prime if and only if .
- ^ Hardy & Wright, § 22.3
- ^ a b Ribenboim, p. 186
- ^ Ribenboim, p. 181
- ^ Crandall & Pomerance, Ex. 1.4, p. 46
- ^ Ribenboim, p.180 says that "Despite the nil practical value of the formulas ... [they] may have some relevance to logicians who wish to understand clearly how various parts of arithmetic may be deduced from different axiomatzations ... "
- ^ Hardy & Wright, pp.344—345 "Any one of these formulas (or any similar one) would attain a different status if the exact value of the number α ... could be expressed independently of the primes. There seems no likelihood of this, but it cannot be ruled out as entirely impossible."
- ^ Ramanujan, Question 723, Papers p. 332
- ^ Hardy & Wright, p. 337
- ^ Mahler, K. On the fractional parts of the powers of a rational number II, 1957, Mathematika, 4, pages 122–124
- ^ "C++ reference of floor function". Retrieved 5 December 2010.
- ^ "C++ reference of ceil function". Retrieved 5 December 2010.
- ^ dotnet-bot. "Math.Floor Method (System)". docs.microsoft.com. Retrieved 28 November 2019.
- ^ dotnet-bot. "Math.Ceiling Method (System)". docs.microsoft.com. Retrieved 28 November 2019.
- ^ "Math (Java SE 9 & JDK 9 )". docs.oracle.com. Retrieved 20 November 2018.
- ^ "Math (Java SE 9 & JDK 9 )". docs.oracle.com. Retrieved 20 November 2018.
- ^ "PHP manual for ceil function". Retrieved 18 July 2013.
- ^ "PHP manual for floor function". Retrieved 18 July 2013.
- ^ "R: Rounding of Numbers".
- ^ "Python manual for math module". Retrieved 18 July 2013.
- ^ Sullivan, p. 86.
- ^ "Vocabulary". J Language. Retrieved 6 September 2011.
- ^ "Overview of Excel's Rounding Functions".
- ^ But the online help provided in 2010 does not reflect this behavior.
Referencias
- J.W.S. Cassels (1957), An introduction to Diophantine approximation, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, 45, Cambridge University Press
- Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2001), Prime Numbers: A Computational Perspective, New York: Springer, ISBN 0-387-94777-9
- Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994), Concrete Mathematics, Reading Ma.: Addison-Wesley, ISBN 0-201-55802-5
- Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1980), An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth edition), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853171-5
- Nicholas J. Higham, Handbook of writing for the mathematical sciences, SIAM. ISBN 0-89871-420-6, p. 25
- ISO/IEC. ISO/IEC 9899::1999(E): Programming languages — C (2nd ed), 1999; Section 6.3.1.4, p. 43.
- Iverson, Kenneth E. (1962), A Programming Language, Wiley
- Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein, Berlin: Springer, ISBN 3-540-66957-4
- Ramanujan, Srinivasa (2000), Collected Papers, Providence RI: AMS / Chelsea, ISBN 978-0-8218-2076-6
- Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, ISBN 0-387-94457-5
- Michael Sullivan. Precalculus, 8th edition, p. 86
- Titchmarsh, Edward Charles; Heath-Brown, David Rodney ("Roger") (1986), The Theory of the Riemann Zeta-function (2nd ed.), Oxford: Oxford U. P., ISBN 0-19-853369-1
enlaces externos
- "Floor function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- Štefan Porubský, "Integer rounding functions", Interactive Information Portal for Algorithmic Mathematics, Institute of Computer Science of the Czech Academy of Sciences, Prague, Czech Republic, retrieved 24 October 2008
- Weisstein, Eric W. "Floor Function". MathWorld.
- Weisstein, Eric W. "Ceiling Function". MathWorld.