Desigualdad de Clausius-Duhem

La desigualdad de Clausius-Duhem ^[1]^[2] es una forma de expresar la segunda ley de la termodinámica que se utiliza en la mecánica continua . Esta desigualdad es particularmente útil para determinar si la relación constitutiva de un material es termodinámicamente permisible. ^[3]

Esta desigualdad es una declaración sobre la irreversibilidad de los procesos naturales, especialmente cuando se trata de disipación de energía. Lleva el nombre del físico alemán Rudolf Clausius y el físico francés Pierre Duhem .

En esta ecuación es el tiempo, representa un cuerpo y la integración es sobre el volumen del cuerpo, representa la superficie del cuerpo, es la densidad de masa del cuerpo, es la entropía específica (entropía por unidad de masa), es la normal la velocidad de , es la velocidad de las partículas dentro de , es la unidad normal a la superficie, es el vector de flujo de calor , es una fuente de energía por unidad de masa y es la temperatura absoluta ${\ estilo de visualización t}$ ${\ estilo de visualización \ omega}$ ${\ estilo de visualización \ parcial \ Omega}$ ${\ estilo de visualización \ rho}$ ${\ estilo de visualización \ eta}$ ${\ estilo de visualización u_ {n}}$ ${\ estilo de visualización \ parcial \ Omega}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {v}}$ ${\ estilo de visualización \ omega}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {n}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {q}}$ ${\ estilo de visualización}$ ${\ estilo de visualización T}$ . Todas las variables son funciones de un punto material a la vez . ${\ estilo de visualización \ matemáticas {x}}$ ${\ estilo de visualización t}$

donde es la derivada temporal de y es la divergencia del vector . ${\punto {\eta}}$ ${\ estilo de visualización \ eta}$ ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {a} )$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {a}}$

Suponga que es un volumen de control fijo arbitrario . Entonces y la derivada se puede tomar dentro de la integral para dar ${\ estilo de visualización \ omega}$ ${\ estilo de visualización u_ {n} = 0}$

Como es arbitrario, debemos tener ${\ estilo de visualización \ omega}$