En física e ingeniería , una ecuación constitutiva o relación constitutiva es una relación entre dos cantidades físicas (especialmente cantidades cinéticas relacionadas con cantidades cinemáticas) que es específica de un material o sustancia , y se aproxima a la respuesta de ese material a estímulos externos, generalmente como campos o fuerzas aplicadas . Se combinan con otras ecuaciones que gobiernan las leyes físicas para resolver problemas físicos; por ejemplo en mecánica de fluidos el flujo de un fluido en una tubería, en física de estado sólido la respuesta de un cristal a un campo eléctrico, o enanálisis estructural , la conexión entre tensiones o fuerzas aplicadas a deformaciones o deformaciones .
Algunas ecuaciones constitutivas son simplemente fenomenológicas ; otros se derivan de primeros principios . Una ecuación constitutiva aproximada común con frecuencia se expresa como una proporcionalidad simple utilizando un parámetro que se considera una propiedad del material, como la conductividad eléctrica o una constante de resorte . Sin embargo, a menudo es necesario tener en cuenta la dependencia direccional del material, y el parámetro escalar se generaliza a un tensor . Las relaciones constitutivas también se modifican para tener en cuenta la tasa de respuesta de los materiales y su comportamiento no lineal . [1] Ver el artículo Función de respuesta lineal .
Propiedades mecánicas de la materia
La primera ecuación constitutiva (ley constitutiva) fue desarrollada por Robert Hooke y se conoce como ley de Hooke. Se trata del caso de materiales elásticos lineales . Después de este descubrimiento, este tipo de ecuación, a menudo llamada "relación tensión-deformación" en este ejemplo, pero también llamada "suposición constitutiva" o "ecuación de estado", se usó comúnmente. Walter Noll avanzó en el uso de ecuaciones constitutivas, aclarando su clasificación y el papel de los requisitos de invariancia, restricciones y definiciones de términos como "material", "isotrópico", "eolotrópico", etc. La clase de "relaciones constitutivas" de la forma tasa de estrés = f (gradiente de velocidad, estrés, densidad) fue el tema de la disertación de Walter Noll en 1954 bajo la dirección de Clifford Truesdell . [2]
En la física moderna de la materia condensada , la ecuación constitutiva juega un papel importante. Consulte Ecuaciones constitutivas lineales y Funciones de correlación no lineal . [3]
Definiciones
Cantidad (nombre / s común) Símbolo (s) (común) Definición de ecuación Unidades SI Dimensión General de estrés , P , σ F es la componente perpendicular de la fuerza aplicada al área A
Pa = N⋅m −2 [M] [L] −1 [T] −2 Tensión general ε - D = dimensión (longitud, área, volumen)
- Δ D = cambio en la dimensión del material
1 adimensional Módulo de elasticidad general E mod Pa = N⋅m −2 [M] [L] −1 [T] −2 El módulo de Young E , Y Pa = N⋅m −2 [M] [L] −1 [T] −2 Módulo de corte GRAMO Pa = N⋅m −2 [M] [L] −1 [T] −2 Módulo de volumen K , B Pa = N⋅m −2 [M] [L] −1 [T] −2 Compresibilidad C Pa −1 = m 2 ⋅N −1 [M] −1 [L] [T] 2
Deformación de sólidos
Fricción
La fricción es un fenómeno complicado. Macroscópicamente, la fuerza de fricción F entre la interfaz de dos materiales se puede modelar como proporcional a la fuerza de reacción R en un punto de contacto entre dos interfaces a través de un coeficiente de fricción adimensional μ f , que depende del par de materiales:
Esto se puede aplicar a la fricción estática (fricción que evita que dos objetos estacionarios se deslicen por sí solos), fricción cinética (fricción entre dos objetos que se raspan / deslizan uno al lado del otro) o rodamiento (fuerza de fricción que evita el deslizamiento pero hace que se ejerza un par de torsión). un objeto redondo).
Estrés y tensión
La relación constitutiva tensión-deformación para materiales lineales se conoce comúnmente como ley de Hooke . En su forma más simple, la ley define la constante de resorte (o constante de elasticidad) k en una ecuación escalar, indicando que la fuerza de tracción / compresión es proporcional al desplazamiento extendido (o contraído) x :
lo que significa que el material responde linealmente. De manera equivalente, en términos de tensión σ , módulo de Young E y deformación ε (adimensional):
En general, las fuerzas que deforman los sólidos pueden ser normales a una superficie del material (fuerzas normales) o tangenciales (fuerzas de corte), esto se puede describir matemáticamente usando el tensor de tensión :
donde C es el tensor de elasticidad y S es el tensor de cumplimiento .
Deformaciones de estado sólido
Varias clases de deformaciones en materiales elásticos son las siguientes: [4]
- Elástico : El material recupera su forma inicial después de la deformación.
- Anelástico : si el material es casi elástico, pero la fuerza aplicada induce fuerzas resistivas adicionales dependientes del tiempo (es decir, depende de la tasa de cambio de extensión / compresión, además de la extensión / compresión). Los metales y las cerámicas tienen esta característica, pero suele ser despreciable, aunque no tanto cuando se produce un calentamiento por fricción (como vibraciones o esfuerzos cortantes en las máquinas).
- Viscoelástico : si las contribuciones resistivas dependientes del tiempo son grandes y no pueden despreciarse. Los cauchos y los plásticos tienen esta propiedad y ciertamente no satisfacen la ley de Hooke. De hecho, se produce una histéresis elástica.
- Plástico : La fuerza aplicada induce deformaciones no recuperables en el material cuando la tensión (o deformación elástica) alcanza una magnitud crítica, denominada punto de fluencia.
- Hiperelástico : La fuerza aplicada induce desplazamientos en el material siguiendo una función de densidad de energía de deformación .
Colisiones
La velocidad relativa de separación v la separación de un objeto A después de una colisión con otro objeto B está relacionada con la velocidad relativa de aproximación v aproximación por el coeficiente de restitución , definido por la ley de impacto experimental de Newton : [5]
que depende de los materiales de los que están hechos A y B, ya que la colisión implica interacciones en las superficies de A y B. Normalmente 0 ≤ e ≤ 1 , en la que e = 1 para colisiones completamente elásticas, ye = 0 para colisiones completamente inelásticas . Es posible que ocurra e ≥ 1 - para colisiones superelásticas (o explosivas).
Deformación de fluidos
La ecuación de arrastre da la fuerza de arrastre D sobre un objeto de área de sección transversal A que se mueve a través de un fluido de densidad ρ a una velocidad v (relativa al fluido)
donde el coeficiente de arrastre (adimensional) c d depende de la geometría del objeto y las fuerzas de arrastre en la interfaz entre el fluido y el objeto.
Para un fluido newtoniano de viscosidad μ , el esfuerzo cortante τ está relacionado linealmente con la tasa de deformación ( gradiente de velocidad de flujo transversal ) ∂ u / ∂ y (unidades s −1 ). En un flujo de cizallamiento uniforme :
con u ( y ) la variación de la velocidad de flujo u en la dirección de flujo cruzado (transversal) y . En general, para un fluido newtoniano, la relación entre los elementos τ ij del tensor de esfuerzo cortante y la deformación del fluido viene dada por
- con y
donde v i son los componentes del vector de velocidad de flujo en las direcciones de coordenadas x i correspondientes , e ij son los componentes del tensor de tasa de deformación, Δ es la tasa de deformación volumétrica (o tasa de dilatación) y δ ij es el delta de Kronecker . [6]
La ley de los gases ideales es una relación constitutiva en el sentido de que la presión py el volumen V están relacionados con la temperatura T , a través del número de moles n de gas:
donde R es la constante del gas (J⋅K −1 ⋅mol −1 ).
Electromagnetismo
Tanto en la física clásica como en la cuántica , la dinámica precisa de un sistema forma un conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas , que casi siempre son demasiado complicadas para ser resueltas con exactitud, incluso al nivel de la mecánica estadística . En el contexto del electromagnetismo, esta observación se aplica no solo a la dinámica de las cargas y corrientes libres (que entran directamente en las ecuaciones de Maxwell), sino también a la dinámica de las cargas y corrientes ligadas (que entran en las ecuaciones de Maxwell a través de las relaciones constitutivas). Como resultado, se utilizan típicamente varios esquemas de aproximación.
Por ejemplo, en materiales reales, se deben resolver ecuaciones de transporte complejas para determinar la respuesta temporal y espacial de las cargas, por ejemplo, la ecuación de Boltzmann o la ecuación de Fokker-Planck o las ecuaciones de Navier-Stokes . Por ejemplo, vea magnetohidrodinámica , dinámica de fluidos , electrohidrodinámica , superconductividad , modelado de plasma . Se ha desarrollado todo un aparato físico para tratar estos asuntos. Véase, por ejemplo, la teoría de la respuesta lineal , las relaciones Green-Kubo y la función de Green (teoría de muchos cuerpos) .
Estas complejas teorías proporcionan fórmulas detalladas para las relaciones constitutivas que describen la respuesta eléctrica de varios materiales, como permitividades , permeabilidades , conductividades , etc.
Es necesario especificar las relaciones entre el campo de desplazamiento D y E , y el campo H magnético H y B , antes de hacer cálculos en electromagnetismo (es decir, aplicar las ecuaciones macroscópicas de Maxwell). Estas ecuaciones especifican la respuesta de la carga ligada y la corriente a los campos aplicados y se denominan relaciones constitutivas.
La determinación de la relación constitutiva entre los campos auxiliares D y H y los campos E y B comienza con la definición de los propios campos auxiliares:
donde P es el campo de polarización y M es el campo de magnetización que se definen en términos de cargas ligadas microscópicas y corriente ligada respectivamente. Antes de comenzar a calcular M y P , es útil examinar los siguientes casos especiales.
Sin materiales magnéticos ni dieléctricos
En ausencia de materiales magnéticos o dieléctricos, las relaciones constitutivas son simples:
donde ε 0 y μ 0 son dos constantes universales, llamadas permitividad del espacio libre y permeabilidad del espacio libre, respectivamente.
Materiales lineales isotrópicos
En un material lineal ( isotrópico [7] ), donde P es proporcional a E y M es proporcional a B , las relaciones constitutivas también son sencillas. En términos de polarización P y magnetización M son:
donde χ e y χ m son las susceptibilidades eléctricas y magnéticas de un material dado, respectivamente. En términos de D y H las relaciones constitutivas son:
donde ε y μ son constantes (que dependen del material), llamadas permitividad y permeabilidad , respectivamente, del material. Estos están relacionados con las susceptibilidades por:
Caso general
Para los materiales del mundo real, las relaciones constitutivas no son lineales, excepto aproximadamente. El cálculo de las relaciones constitutivas a partir de los primeros principios implica determinar cómo se crean P y M a partir de una E y B dadas . [nota 1] Estas relaciones pueden ser empíricas (basadas directamente en mediciones) o teóricas (basadas en mecánica estadística , teoría del transporte u otras herramientas de la física de la materia condensada ). El detalle empleado puede ser macroscópico o microscópico , dependiendo del nivel necesario para el problema bajo escrutinio.
En general, las relaciones constitutivas todavía se pueden escribir:
pero ε y μ no son, en general, constantes simples, sino funciones de E , B , posición y tiempo, y de naturaleza tensorial. Algunos ejemplos son:
- Dispersión y absorción donde ε y μ son funciones de frecuencia. (La causalidad no permite que los materiales no sean dispersivos; ver, por ejemplo, las relaciones de Kramers-Kronig .) Tampoco los campos necesitan estar en fase, lo que lleva a que ε y μ sean complejos . Esto también conduce a la absorción.
- No linealidad , donde ε y μ son funciones de E y B .
- Anisotropía (como birrefringencia o dicroísmo ) que ocurre cuando ε y μ son tensores de segundo rango,
- Dependencia de P y M de E y B en otros lugares y horarios. Esto podría deberse a la falta de homogeneidad espacial ; por ejemplo, en una estructura dominada , heteroestructura o un cristal líquido , o más comúnmente en la situación en la que simplemente hay múltiples materiales que ocupan diferentes regiones del espacio. O podría deberse a un medio que varía en el tiempo o debido a una histéresis . En tales casos, P y M se pueden calcular como: [8] [9]
- en el que las funciones de permitividad y permeabilidad son reemplazadas por integrales sobre las susceptibilidades eléctricas y magnéticas más generales . [10] En materiales homogéneos, la dependencia de otras ubicaciones se conoce como dispersión espacial .
Como una variación de estos ejemplos, en general los materiales son bianisotrópicos donde D y B dependen tanto de E como de H , a través de las constantes de acoplamiento adicionales ξ y ζ : [11]
En la práctica, algunas propiedades de los materiales tienen un impacto insignificante en circunstancias particulares, lo que permite descuidar los pequeños efectos. Por ejemplo: las no linealidades ópticas pueden despreciarse para intensidades de campo bajas; la dispersión del material no es importante cuando la frecuencia se limita a un ancho de banda estrecho ; la absorción de material puede despreciarse para longitudes de onda para las que un material es transparente; y los metales con conductividad finita a menudo se aproximan en microondas o longitudes de onda más largas como metales perfectos con conductividad infinita (formando barreras duras con una profundidad de campo de penetración de piel cero ).
Algunos materiales artificiales, como los metamateriales y los cristales fotónicos, están diseñados para tener permitividad y permeabilidad personalizadas.
Cálculo de relaciones constitutivas
El cálculo teórico de las ecuaciones constitutivas de un material es una tarea común, importante y a veces difícil en la física teórica de la materia condensada y la ciencia de los materiales . En general, las ecuaciones constitutivas se determinan teóricamente calculando cómo responde una molécula a los campos locales a través de la fuerza de Lorentz . Es posible que también sea necesario modelar otras fuerzas, como las vibraciones reticulares en los cristales o las fuerzas de enlace. La inclusión de todas las fuerzas conduce a cambios en la molécula que se utilizan para calcular P y M en función de los campos locales.
Los campos locales difieren de los campos aplicados debido a los campos producidos por la polarización y magnetización del material cercano; un efecto que también necesita ser modelado. Además, los materiales reales no son medios continuos ; los campos locales de materiales reales varían enormemente a escala atómica. Los campos deben promediarse sobre un volumen adecuado para formar una aproximación continua.
Estas aproximaciones continuas a menudo requieren algún tipo de análisis mecánico cuántico , como la teoría cuántica de campos aplicada a la física de la materia condensada . Véase, por ejemplo, la teoría funcional de la densidad , las relaciones Green-Kubo y la función de Green .
Un conjunto diferente de métodos de homogeneización (que evolucionan de una tradición en el tratamiento de materiales como conglomerados y laminados ) se basan en la aproximación de un material no homogéneo por un medio efectivo homogéneo [12] [13] (válido para excitaciones con longitudes de onda mucho mayores que la escala de la falta de homogeneidad). [14] [15] [16] [17]
El modelado teórico de las propiedades de aproximación del continuo de muchos materiales reales a menudo también se basa en mediciones experimentales. [18] Por ejemplo, ε de un aislante a bajas frecuencias se puede medir convirtiéndolo en un capacitor de placas paralelas , y ε a frecuencias de luz óptica a menudo se mide mediante elipsometría .
Propiedades termoeléctricas y electromagnéticas de la materia.
Estas ecuaciones constitutivas se utilizan a menudo en cristalografía , un campo de la física del estado sólido . [19]
Propiedades electromagnéticas de los sólidos Propiedad / efecto Estímulos / parámetros de respuesta del sistema Tensor constitutivo de sistema Ecuación efecto Hall - E = intensidad del campo eléctrico (N⋅C −1 )
- J = densidad de corriente eléctrica (A⋅m −2 )
- H = intensidad del campo magnético (A⋅m −1 )
ρ = resistividad eléctrica (Ω⋅m) Efecto piezoeléctrico directo - σ = Estrés (Pa)
- P = polarización (dieléctrica) (C⋅m −2 )
d = coeficiente piezoeléctrico directo (C⋅N −1 ) Efecto piezoeléctrico converse - ε = Deformación (adimensional)
- E = intensidad del campo eléctrico (N⋅C −1 )
d = coeficiente piezoeléctrico directo (C⋅N −1 ) Efecto piezomagnético - σ = Estrés (Pa)
- M = magnetización (A⋅m −1 )
q = coeficiente piezomagnético (A⋅N −1 ⋅m)
Propiedades termoeléctricas de los sólidos Propiedad / efecto Estímulos / parámetros de respuesta del sistema Tensor constitutivo de sistema Ecuación Piroelectricidad - P = polarización (dieléctrica) (C⋅m −2 )
- T = temperatura (K)
p = coeficiente piroeléctrico (C⋅m −2 ⋅K −1 ) Efecto electrocalórico - S = entropía (J⋅K −1 )
- E = intensidad del campo eléctrico (N⋅C −1 )
p = coeficiente piroeléctrico (C⋅m −2 ⋅K −1 ) Efecto Seebeck - E = intensidad del campo eléctrico (N⋅C −1 = V⋅m −1 )
- T = temperatura (K)
- x = desplazamiento (m)
β = termopotencia (V⋅K −1 ) Efecto Peltier - E = intensidad del campo eléctrico (N⋅C −1 )
- J = densidad de corriente eléctrica (A⋅m −2 )
- q = flujo de calor (W⋅m −2 )
Π = coeficiente de Peltier (W⋅A −1 )
Fotónica
- Índice de refracción
El índice de refracción (absoluto) de un medio n (adimensional) es una propiedad inherentemente importante de la óptica geométrica y física definida como la relación entre la velocidad luminal en el vacío c 0 y la del medio c :
donde ε es la permitividad y ε r la permitividad relativa del medio, igualmente μ es la permeabilidad y μ r son la permeabilidad relativa del medio. La permitividad al vacío es ε 0 y la permeabilidad al vacío es μ 0 . En general, n (también ε r ) son números complejos .
El índice de refracción relativo se define como la relación de los dos índices de refracción. Absolute es para un material, relativo se aplica a cada posible par de interfaces;
- Velocidad de la luz en la materia
Como consecuencia de la definición, la velocidad de la luz en la materia es
para caso especial de vacío; ε = ε 0 y μ = μ 0 ,
- Efecto piezoóptico
El efecto piezoóptico relaciona las tensiones en los sólidos σ con la impermeabilidad dieléctrica a , que están acopladas por un tensor de cuarto rango llamado coeficiente piezoóptico Π (unidades K −1 ):
Fenómenos de transporte
Definiciones
Definiciones (propiedades térmicas de la materia) Cantidad (nombre / s común) Símbolo (s) (común) Definición de ecuación Unidades SI Dimensión Capacidad calorífica general C = capacidad calorífica de la sustancia J⋅K −1 [M] [L] 2 [T] −2 [Θ] −1 Expansión térmica lineal - L = longitud del material (m)
- α = coeficiente de expansión térmica lineal (adimensional)
- ε = tensor de deformación (adimensional)
K −1 [Θ] −1 Expansión térmica volumétrica β , γ - V = volumen del objeto (m 3 )
- p = presión constante del entorno
K −1 [Θ] −1 Conductividad térmica κ , K , λ , - A = sección transversal de la superficie del material (m 2 )
- P = corriente térmica / potencia a través del material (W)
- ∇ T = gradiente de temperatura en el material (K⋅m −1 )
W⋅m −1 ⋅K −1 [M] [L] [T] −3 [Θ] −1 Conductancia térmica U W⋅m −2 K −1 [M] [T] −3 [Θ] −1 Resistencia termica R Δ x = desplazamiento de la transferencia de calor (m)
m 2 ⋅K⋅W −1 [M] −1 [L] [T] 3 [Θ]
Definiciones (propiedades eléctricas / magnéticas de la materia) Cantidad (nombre / s común) Símbolo (s) (común) Definición de ecuación Unidades SI Dimensión Resistencia eléctrica R Ω = V⋅A −1 = J⋅s⋅C −2 [M] [L] 2 [T] −3 [I] −2 Resistividad ρ Ω⋅m [M] 2 [L] 2 [T] −3 [I] −2 Coeficiente de temperatura de resistividad , dependencia de la temperatura lineal α K −1 [Θ] −1 Conductancia eléctrica GRAMO S = Ω −1 [M] −1 [L] −2 [T] 3 [I] 2 Conductividad eléctrica σ Ω −1 ⋅m −1 [M] −2 [L] −2 [T] 3 [I] 2 Renuencia magnética R , R m , A⋅Wb −1 = H −1 [M] −1 [L] −2 [T] 2 Permeabilidad magnética P , P m , Λ, Wb⋅A −1 = H [M] [L] 2 [T] −2
Leyes definitivas
Hay varias leyes que describen el transporte de materia, o sus propiedades, de forma casi idéntica. En todos los casos, en palabras leen:
- El flujo (densidad) es proporcional a un gradiente , la constante de proporcionalidad es la característica del material.
En general, la constante debe reemplazarse por un tensor de segundo rango, para tener en cuenta las dependencias direccionales del material.
Propiedad / efecto Nomenclatura Ecuación Ley de difusión de Fick , define el coeficiente de difusión D - D = coeficiente de difusión de masa (m 2 ⋅s −1 )
- J = flujo de difusión de la sustancia (mol⋅m −2 ⋅s −1 )
- ∂ C / ∂ x = (1d) gradiente de concentración de sustancia (mol⋅dm −4 )
La ley de Darcy para el flujo de fluidos en medios porosos define la permeabilidad κ - κ = permeabilidad del medio (m 2 )
- μ = viscosidad del fluido (Pa⋅s)
- q = flujo de descarga de sustancia (m⋅s −1 )
- ∂ P / ∂ x = (1d) gradiente de presión del sistema (Pa⋅m −1 )
La ley de conducción eléctrica de Ohm , define la conductividad eléctrica (y por lo tanto la resistividad y la resistencia) - V = diferencia de potencial en el material (V)
- I = corriente eléctrica a través del material (A)
- R = resistencia del material (Ω)
- ∂ V / ∂ x = gradiente de potencial ( campo eléctrico ) a través del material (V⋅m −1 )
- J = densidad de corriente eléctrica a través del material (A⋅m −2 )
- σ = conductividad eléctrica del material (Ω −1 ⋅m −1 )
- ρ = resistividad eléctrica del material (Ω⋅m)
- La forma simplista es:
- Las formas más generales son:
Ley de Fourier de conducción térmica , define la conductividad térmica λ - λ = conductividad térmica del material (W⋅m −1 ⋅K −1 )
- q = flujo de calor a través del material (W⋅m −2 )
- ∂ T / ∂ x = gradiente de temperatura en el material (K⋅m −1 )
Ley de Stefan-Boltzmann de radiación de cuerpo negro , define la emmisividad ε - I = intensidad radiante (W⋅m −2 )
- σ = constante de Stefan-Boltzmann (W⋅m −2 ⋅K −4 )
- T sys = temperatura del sistema radiante (K)
- T ext = temperatura del entorno externo (K)
- ε = emisividad (adimensional)
Para una diferencia de temperatura:- Para un solo radiador:
- 0 ≤ ε ≤ 1
- ε = 0 para reflector perfecto
- ε = 1 para absorbente perfecto (cuerpo negro verdadero)
Ver también
- Principio de objetividad material
- Reología
Notas
- ^ Lascargas y corrientes libres responden a los campos a través de laley de fuerza de Lorentz y esta respuesta se calcula a un nivel fundamental utilizando la mecánica. La respuesta de las cargas y corrientes ligadas se trata utilizando métodos más burdos incluidos en las nociones de magnetización y polarización. Dependiendo del problema, se puede optar por no tener ningún cargo gratuito.
- ^ Clifford Truesdell y Walter Noll; Stuart S. Antman, editor (2004). Las teorías de la mecánica de campos no lineales . Saltador. pag. 4. ISBN 3-540-02779-3.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Véase el relato de Truesdell en Truesdell La naturalización y apoteosis de Walter Noll . Véase también el relato de Noll y el tratado clásico de ambos autores: Clifford Truesdell y Walter Noll - Stuart S. Antman (editor) (2004). "Prefacio". The Non-linear Field Theories of Mechanics (Publicado originalmente como Volumen III / 3 de la famosa Enciclopedia de Física en 1965) (3ª ed.). Saltador. pag. xiii. ISBN 3-540-02779-3.CS1 maint: texto adicional: lista de autores ( enlace )
- ^ Jørgen Rammer (2007). Teoría cuántica de campos de estados de desequilibrio . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-87499-1.
- ^ Enciclopedia de la física (segunda edición), RG Lerner , GL Trigg, editores de VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
- ^ Principios esenciales de la física, PM Whelan, MJ Hodgeson, 2da edición, 1978, John Murray, ISBN 0 7195 3382 1
- ^ Kay, JM (1985). Mecánica de fluidos y procesos de transferencia . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 10 y 122-124. ISBN 9780521316248.
- ^ La generalización a materiales no isotrópicos es sencilla; simplemente reemplace las constantes concantidades tensoriales .
- ^ Halevi, Peter (1992). Dispersión espacial en sólidos y plasmas . Amsterdam: Holanda Septentrional. ISBN 978-0-444-87405-4.
- ^ Jackson, John David (1999). Electrodinámica clásica (3ª ed.). Nueva York: Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
- ^ Tenga en cuenta que el término 'susceptibilidad magnética' utilizado aquí es en términos de B y es diferente de la definición estándar en términos de H .
- ^ TG Mackay; A Lakhtakia (2010). Anisotropía electromagnética y bianisotropía: una guía de campo . World Scientific. Archivado desde el original el 13 de octubre de 2010 . Consultado el 22 de mayo de 2012 .
- ^ Aspnes, DE , "Efectos de campo local y teoría del medio efectivo: una perspectiva microscópica", Am. J. Phys. 50 , págs. 704-709 (1982).
- ^ Habib Ammari; Hyeonbae Kang (2006). Problemas inversos, análisis multiescala y teoría del medio eficaz: taller en Seúl, problemas inversos, análisis multiescala y homogeneización, 22-24 de junio de 2005, Universidad Nacional de Seúl, Seúl, Corea . Providence RI: Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 282. ISBN 0-8218-3968-3.
- ^ OC Zienkiewicz; Robert Leroy Taylor; JZ Zhu; Perumal Nithiarasu (2005). El método de los elementos finitos (Sexta ed.). Oxford Reino Unido: Butterworth-Heinemann. pag. 550 ff. ISBN 0-7506-6321-9.
- ^ N. Bakhvalov y G. Panasenko, Homogeneización: Procesos promediados en medios periódicos (Kluwer: Dordrecht, 1989); VV Jikov, SM Kozlov y OA Oleinik, Homogeneización de operadores diferenciales y funcionales integrales (Springer: Berlín, 1994).
- ^ Vitaliy Lomakin; Steinberg BZ; Heyman E; Felsen LB (2003). "Homogeneización multiresolución de formulaciones de campo y red para losas dieléctricas laminadas multiescala" (PDF) . Transacciones IEEE sobre antenas y propagación . 51 (10): 2761 y sigs. Código Bibliográfico : 2003ITAP ... 51.2761L . doi : 10.1109 / TAP.2003.816356 . Archivado desde el original (PDF) el 14 de mayo de 2012.
- ^ AC Gilbert (Ronald R Coifman, Editor) (mayo de 2000). Temas de análisis y sus aplicaciones: tesis seleccionadas . Singapur: World Scientific Publishing Company. pag. 155. ISBN 981-02-4094-5.
- ^ Edward D. Palik; Ghosh G (1998). Manual de constantes ópticas de sólidos . Londres, Reino Unido: Academic Press. pag. 1114. ISBN 0-12-544422-2.
- ^ "2. Propiedades físicas como tensores" . www.mx.iucr.org . Archivado desde el original el 19 de abril de 2018 . Consultado el 19 de abril de 2018 .