Relación Clausius-Mossotti

Ecuación matemática para la constante dieléctrica (permitividad relativa, εr) de un material en términos de polarizabilidad atómica, α, de los átomos y / o moléculas constituyentes del material.

La relación de Clausius-Mossotti expresa la constante dieléctrica ( permitividad relativa , ε _r ) de un material en términos de la polarización atómica , α, de los átomos y / o moléculas constituyentes del material, o una mezcla homogénea de los mismos. Lleva el nombre de Ottaviano-Fabrizio Mossotti y Rudolf Clausius . Es equivalente a la ecuación de Lorentz-Lorenz . Puede expresarse como: ^{[1] [2]}

${\displaystyle {\frac {\varepsilon _{\mathrm {r} }-1}{\varepsilon _{\mathrm {r} }+2}}={\frac {N\alpha }{3\varepsilon _{0}}}}$

donde

• ${\displaystyle \varepsilon _{r}=\epsilon /\epsilon _{0}}$es la constante dieléctrica del material, que para materiales no magnéticos es igual a donde es el índice de refracción${\displaystyle n^{2}}$${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$es la permitividad del espacio libre
• ${\displaystyle N}$ es la densidad numérica de las moléculas (número por metro cúbico), y
• ${\displaystyle \alpha }$es la polarizabilidad molecular en unidades SI (C · m ² / V).

En el caso de que el material consista en una mezcla de dos o más especies, el lado derecho de la ecuación anterior consistiría en la suma de la contribución de polarizabilidad molecular de cada especie, indexada por i en la siguiente forma: ^[3]

${\displaystyle {\frac {\varepsilon _{\mathrm {r} }-1}{\varepsilon _{\mathrm {r} }+2}}=\sum _{i}{\frac {N_{i}\alpha _{i}}{3\varepsilon _{0}}}}$

En el sistema de unidades CGS, la relación de Clausius-Mossotti se suele reescribir para mostrar el volumen de polarización molecular que tiene unidades de volumen (m ³ ). ^{[2] La} confusión puede surgir de la práctica de usar el nombre más corto "polarizabilidad molecular" para ambos y dentro de la literatura destinada al sistema de unidades respectivo.${\displaystyle \alpha '=\alpha /(4\pi \varepsilon _{0})}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha '}$

Ecuación de Lorentz-Lorenz

La ecuación de Lorentz-Lorenz es similar a la relación de Clausius-Mossotti, excepto que relaciona el índice de refracción (en lugar de la constante dieléctrica ) de una sustancia con su polarizabilidad . La ecuación de Lorentz-Lorenz lleva el nombre del matemático y científico danés Ludvig Lorenz , quien la publicó en 1869, y del físico holandés Hendrik Lorentz , quien la descubrió de forma independiente en 1878.

La forma más general de la ecuación de Lorentz-Lorenz es (en unidades CGS)

${\displaystyle {\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}={\frac {4\pi }{3}}N\alpha _{\mathrm {m} }}$

donde es el índice de refracción , es el número de moléculas por unidad de volumen y es la polarizabilidad media . Esta ecuación es aproximadamente válida tanto para sólidos homogéneos como para líquidos y gases.${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \alpha _{\mathrm {m} }}$

Cuando el cuadrado del índice de refracción es , como ocurre con muchos gases, la ecuación se reduce a:${\displaystyle n^{2}\approx 1}$

${\displaystyle n^{2}-1\approx 4\pi N\alpha _{\mathrm {m} }}$

o simplemente

${\displaystyle n-1\approx 2\pi N\alpha _{\mathrm {m} }}$

Esto se aplica a los gases a presiones normales. El índice de refracción del gas se puede expresar en términos de refractividad molar como:${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle n\approx {\sqrt {1+{\frac {3Ap}{RT}}}}}$

donde es la presión del gas, es la constante universal del gas y es la temperatura (absoluta), que en conjunto determinan la densidad numérica .${\displaystyle p}$${\displaystyle R}$${\displaystyle T}$${\displaystyle N}$

En consecuencia , se mantiene con la concentración molar. Si se reemplaza con el índice de refracción complejo , con el índice de absorción , se deduce que:${\displaystyle N=N_{\mathrm {A} }\cdot c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m=n+ik}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle m\approx 1+c{\frac {N_{\mathrm {A} }\cdot \alpha }{2\varepsilon _{0}}}}$

Por lo tanto, la parte imaginaria, el índice de absorción, es proporcional a la concentración molar.

${\displaystyle k\approx c{\frac {N_{\mathrm {A} }\cdot \alpha ''}{2\varepsilon _{0}}}}$

y, por tanto, a la absorbancia . En consecuencia, la ley de Beer se puede derivar de la relación de Lorentz-Lorenz. ^[4] Por tanto, el cambio del índice de refracción real en soluciones diluidas también depende aproximadamente de forma lineal de la concentración molar. ^[5]

Referencias

1. Rysselberghe, PV (enero de 1932). "Observaciones sobre la ley Clausius-Mossotti". J. Phys. Chem . 36 (4): 1152-1155. doi : 10.1021 / j150334a007 .
2. Atkins, Peter; de Paula, Julio (2010). "Capítulo 17". Química física de Atkins . Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 622–629. ISBN 978-0-19-954337-3.
3. Corson, Dale R; Lorena, Paul (1962). Introducción a los campos y ondas electromagnéticos . San Francisco: WH Freeman. pag. 116. OCLC 398313 . 
4. Thomas Günter Mayerhöfer, Jürgen Popp (12 de mayo de 2020), "Más allá de la ley de Beer: revisando la ecuación de Lorentz-Lorenz", ChemPhysChem (en alemán), 21 (12), págs. 1218-1223, doi : 10.1002 / cphc .202000301 , ISSN 1439-4235 , PMC 7317954 , PMID 32394615   
5. Thomas G. Mayerhöfer, Alicja Dabrowska, Andreas Schwaighofer, Bernhard Lendl, Jürgen Popp (20 de abril de 2020), "Más allá de la ley de Beer: por qué el índice de refracción depende (casi) linealmente de la concentración", ChemPhysChem (en alemán), 21 (8), págs. 707–711, doi : 10.1002 / cphc.202000018 , ISSN 1439-4235 , PMC 7216834 , PMID 32074389   

Bibliografía

• Lakhtakia, A (1996). Artículos seleccionados sobre materiales compuestos ópticos lineales . Bellingham, Wash., EE.UU .: SPIE Optical Engineering Press. ISBN 978-0-8194-2152-4. OCLC  34046175 .
• Böttcher, CJF (1973). Teoría de la polarización eléctrica (2ª ed.). Elsevier. doi : 10.1016 / c2009-0-15579-4 . ISBN 978-0-444-41019-1.
• Clausius, R. (1879). Die Mechanische Behandlung der Electricität . Wiesbaden: Vieweg + Teubner Verlag. doi : 10.1007 / 978-3-663-20232-5 . ISBN 978-3-663-19891-8.
• Nacido, Max ; Wolf, Emil (1999). "sección 2.3.3". Principios de óptica: teoría electromagnética de propagación, interferencia y difracción de la luz (7ª ed.). Cambridge Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-64222-1. OCLC  40200160 .
• Lorenz, Ludvig, "Experimentale og teoretiske Undersogelser sobre Legemernes Brydningsforhold", Vidensk Slsk. Sckrifter 8,205 (1870) https://www.biodiversitylibrary.org/item/48423#page/5/mode/1up
• Lorenz, L. (1880). "Ueber die Refractionsconstante" . Annalen der Physik und Chemie (en alemán). Wiley. 247 (9): 70–103. Código Bibliográfico : 1880AnP ... 247 ... 70L . doi : 10.1002 / yp.18802470905 . ISSN  0003-3804 .
• Lorentz, HA (1881). "Ueber die Anwendung des Satzes vom Virial in der kinetischen Theorie der Gase" . Annalen der Physik (en alemán). Wiley. 248 (1): 127-136. Código Bibliográfico : 1881AnP ... 248..127L . doi : 10.1002 / yp.18812480110 . ISSN  0003-3804 .
• OF Mossotti, Discussione analitica sull'influenza che l'azione di un mezzo dielettrico ha sulla distribuzione dell'elettricità alla superficie di più corpi elettrici diseminati in esso, Memorie di Mathematica e di Fisica della Società Italiana della Scienza Residente en Modena, vol. 24, pág. 49-74 (1850).