En matemáticas , el teorema de Clifford en divisores especiales es el resultado de William K. Clifford ( 1878 ) en las curvas algebraicas , que muestra las limitaciones de los sistemas lineales especiales en una curva C .
Declaración
Un divisor en una superficie de Riemann C es una suma formal de los puntos P en C con coeficientes enteros. Se considera un divisor como un conjunto de restricciones sobre funciones meromórficas en el campo de función de C, definiendocomo el espacio vectorial de funciones que tienen polos solo en puntos de D con coeficiente positivo, como máximo tan malo como indica el coeficiente, y que tienen ceros en puntos de D con coeficiente negativo, con al menos esa multiplicidad. La dimensión de es finito y se denota . El sistema lineal de divisores adjunto a D es el correspondiente espacio proyectivo de dimensión.
El otro invariante significativo de D es su grado d , que es la suma de todos sus coeficientes.
Un divisor se llama especial si ℓ ( K - D )> 0, donde K es el divisor canónico . [1]
El teorema de Clifford establece que para un divisor especial D efectivo , uno tiene:
- ,
y esa igualdad es válida sólo si D es cero o un divisor canónico, o si C es una curva hiperelíptica y D es linealmente equivalente a un múltiplo integral de un divisor hiperelíptico.
El índice de Clifford de C se define entonces como el mínimo d - 2 r ( D ) tomado sobre todos los divisores especiales (excepto canónicos y triviales), y el teorema de Clifford establece que esto no es negativo. Se puede demostrar que el índice de Clifford para una curva genérica del género g es igual a la función piso
El índice de Clifford mide qué tan lejos está la curva de ser hiperelíptica. Puede considerarse como un refinamiento de la gonalidad : en muchos casos, el índice de Clifford es igual a la gonalidad menos 2. [2]
Conjetura de Green
Una conjetura de Mark Green establece que el índice de Clifford para una curva sobre números complejos que no es hiperelíptica debe determinarse por la medida en que C, como curva canónica, tiene sicigias lineales. En detalle, se define la invariante a ( C ) en términos de la resolución libre mínima del anillo de coordenadas homogéneo de C en su incrustación canónica, como el índice más grande i para el cual el número de Betti graduado β i , i + 2 es cero. Green y Robert Lazarsfeld demostraron que a ( C ) + 1 es un límite inferior para el índice de Clifford, y la conjetura de Green establece que la igualdad siempre se cumple. Hay numerosos resultados parciales. [3]
Claire Voisin recibió el Premio Ruth Lyttle Satter en Matemáticas por su solución del caso genérico de la conjetura de Green en dos artículos. [4] [5] El caso de la conjetura de Green para las curvas genéricas había atraído una gran cantidad de esfuerzo por parte de los geómetras algebraicos durante veinte años antes de que finalmente Voisin lo descartara. [6] La conjetura de curvas arbitrarias permanece abierta.
Notas
- ^ Hartshorne p.296
- ↑ Eisenbud (2005) p.178
- ^ Eisenbud (2005) págs. 183-4.
- ^ Conjetura canónica de sicigia de Green para curvas genéricas de géneros impares - Claire Voisin
- ^ Conjetura de syzygy genérica de Green para curvas de género par que se encuentran en una superficie K3 - Claire Voisin
- ^ Premio Satter
Referencias
- Arbarello, Enrico ; Cornalba, Maurizio; Griffiths, Phillip A .; Harris, Joe (1985). Geometría algebraica de las curvas de volumen I . Grundlehren de mathischen Wisenschaften 267. ISBN 0-387-90997-4.
- Clifford, William K. (1878), "On the Classification of Loci", Philosophical Transactions of the Royal Society of London , The Royal Society, 169 : 663–681, doi : 10.1098 / rstl.1878.0020 , ISSN 0080-4614 , JSTOR 109316
- Eisenbud, David (2005). La geometría de las sicigias. Un segundo curso de álgebra conmutativa y geometría algebraica . Textos de Posgrado en Matemáticas . 229 . Nueva York, NY: Springer-Verlag . ISBN 0-387-22215-4. Zbl 1066.14001 .
- Fulton, William (1974). Curvas algebraicas . Serie de notas de clase de matemáticas. WA Benjamin. pag. 212. ISBN 0-8053-3080-1.
- Griffiths, Phillip A .; Harris, Joe (1994). Principios de geometría algebraica . Biblioteca de clásicos de Wiley. Wiley Interscience. pag. 251. ISBN 0-471-05059-8.
- Hartshorne, Robin (1977). Geometría algebraica . Textos de Posgrado en Matemáticas . 52 . ISBN 0-387-90244-9.
enlaces externos
- Iskovskikh, VA (2001) [1994], "Teorema de Clifford" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press