En la teoría de las curvas algebraicas , la teoría de Brill-Noether , introducida por Alexander von Brill y Max Noether ( 1874 ), es el estudio de divisores especiales , ciertos divisores en una curva C que determinan funciones más compatibles de lo que se podría predecir. En lenguaje clásico, los divisores especiales se mueven sobre la curva en un sistema lineal de divisores "más grande de lo esperado" .
La condición de ser un divisor especial D se puede formular en términos de cohomología de gavilla , como la no desaparición de la cohomología H 1 de la gavilla de las secciones de la gavilla invertible o haz de líneas asociado a D . Esto significa que, por el teorema de Riemann-Roch , la cohomología H 0 o el espacio de las secciones holomorfas es mayor de lo esperado.
Alternativamente, por dualidad de Serre , la condición es que existan diferenciales holomorfas con divisor ≥ − D en la curva.
Para un género g dado , el espacio de módulos para las curvas C del género g debe contener un subconjunto denso que parametrice esas curvas con el mínimo en forma de divisores especiales. Uno de los objetivos de la teoría es 'contar constantes' para esas curvas: predecir la dimensión del espacio de divisores especiales (hasta la equivalencia lineal ) de un grado dado d , en función de g , que debe estar presente en un curva de ese género.
El enunciado básico se puede formular en términos de la variedad de Picard Pic( C ) de una curva suave C , y el subconjunto de Pic( C ) correspondiente a clases de divisores de divisores D , con valores dados d de deg( D ) y r de l ( D ) − 1 en la notación del teorema de Riemann-Roch . Hay un límite inferior ρ para la dimensión dim( d , r , g ) de este subesquema en Pic( C ):
llamado el número Brill-Noether . Para curvas suaves C y para d ≥1, r ≥0 los resultados básicos sobre el espacio Grd
_de sistemas lineales en C de grado d y dimensión r son los siguientes.