En topología , una rama de las matemáticas, una topología de extensión es una topología colocada sobre la unión disjunta de un espacio topológico y otro conjunto . Hay varios tipos de topología de extensión, que se describen en las secciones siguientes.
Sea X un espacio topológico y P un conjunto disjunto de X. Considere en X ∪ P la topología cuyos conjuntos abiertos son de la forma A ∪ Q , donde A es un conjunto abierto de X y Q es un subconjunto de P .
Los conjuntos cerrados de X ∪ P son de la forma B ∪ Q , donde B es un conjunto cerrado de X y Q es un subconjunto de P .
Por estas razones esta topología se llama la topología de extensión de X más P , con la cual uno extiende a X ∪ P los conjuntos abiertos y cerrados de X . Como subconjuntos de X ∪ P , la topología subespacial de X es la topología original de X , mientras que la topología subespacial de P es la topología discreta . Como espacio topológico, X ∪ P es homeomorfo a la suma topológica de X y P , yX es un subconjunto abierto de X ∪ P .
Si Y es un espacio topológico y R es un subconjunto de Y , uno podría preguntarse si la topología de extensión de Y – R más R es la misma que la topología original de Y , y la respuesta es, en general, no.
Tenga en cuenta la similitud de esta construcción de topología de extensión y la compactación de un punto de Alexandroff , en cuyo caso, teniendo un espacio topológico X que se desea compactar agregando un punto ∞ en el infinito, uno considera los conjuntos cerrados de X ∪ {∞} a sean los conjuntos de la forma K , donde K es un conjunto compacto cerrado de X , o B ∪ {∞}, donde B es un conjunto cerrado de X .