Unión disjunta (topología)

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En topología general y áreas relacionadas de las matemáticas , la unión de la desunión (también llamada la suma directa , unión libre , suma libre , suma topológica , o co-producto ) de una familia de espacios topológicos es un espacio formado por el equipamiento de la unión de la desunión de los conjuntos subyacentes con una topología natural denominada topología de unión disjunta . En términos generales, en la unión disjunta, los espacios dados se consideran parte de un único espacio nuevo donde cada uno se ve como si estuviera solo y están aislados entre sí.

El nombre coproducto se origina en el hecho de que la unión disjunta es el dual categórico de la construcción del espacio del producto .

Definición

Sea { X _i  : i ∈ I } una familia de espacios topológicos indexados por I . Dejar

${\displaystyle X=\coprod _{i}X_{i}}$

ser la unión disjunta de los conjuntos subyacentes. Por cada yo en yo , deja

${\displaystyle \varphi _{i}:X_{i}\to X\,}$

ser la inyección canónica (definida por ). La topología de unión disjunta en X se define como la topología más fina en X para la cual todas las inyecciones canónicas son continuas (es decir, es la topología final en X inducida por las inyecciones canónicas).${\displaystyle \varphi _{i}(x)=(x,i)}$${\displaystyle \varphi _{i}}$

Explícitamente, la topología de unión disjunta se puede describir de la siguiente manera. Un subconjunto U de X es abierto en X si y sólo si su imagen inversa está abierto en X _i para cada i ∈ I . Otra formulación más es que un subconjunto V de X está abierto en relación con X si si su intersección con X _i está abierta en relación con X _i para cada i .${\displaystyle \varphi _{i}^{-1}(U)}$

Propiedades

El espacio de unión disjunto X , junto con las inyecciones canónicas, se puede caracterizar por la siguiente propiedad universal : Si Y es un espacio topológico, y f _i  : X _i → Y es un mapa continuo para cada i ∈ I , entonces existe precisamente un mapa continuo f  : X → Y tal que el siguiente conjunto de diagramas conmuten :

Esto muestra que la unión disjunta es el coproducto en la categoría de espacios topológicos . Se deduce de lo anterior propiedad universal que un mapa f  : X → Y es continua si y sólo si f _i = f o φ _i es continua para todo i en I .

Además de ser continuas, las inyecciones canónicas φ _i  : X _i → X son mapas abiertos y cerrados . De ello se desprende que las inyecciones son incrustaciones topológicos de modo que cada X _i puede pensar canónicamente como un subespacio de X .

Ejemplos de

Si cada X _i es homeomorfo a un espacio fijo A , entonces la unión disjunta X es homeomorfa al espacio producto A × I donde I tiene la topología discreta .

Preservación de propiedades topológicas.

• Cada unión inconexa de espacios discretos es discreta
• Separación
  • Cada unión de la desunión de T 0 espacios es T ₀
  • Cada unión de la desunión de T 1 espacios es T ₁
  • Cada unión inconexa de espacios de Hausdorff es Hausdorff
• Conectividad
  • La unión disjunta de dos o más espacios topológicos no vacíos se desconecta

Ver también

• topología del producto , la construcción dual
• topología subespacial y su topología de cociente dual
• unión topológica , una generalización al caso donde las piezas no están disjuntas