En el campo matemático de la topología , la extensión de Alexandroff es una forma de extender un espacio topológico no compacto al unir un solo punto de tal manera que el espacio resultante sea compacto . Lleva el nombre del matemático ruso Pavel Alexandroff . Más precisamente, sea X un espacio topológico. Entonces la extensión de Alexandroff de X es un cierto espacio compacto X * junto con una incrustación abierta c : X → X * tal que el complemento de X en X * consta de un solo punto, normalmente denotado ∞. El mapa c es una compactación de Hausdorff si y solo si X es un espacio de Hausdorff localmente compacto y no compacto . Para tales espacios, la extensión de Alexandroff se llama compactación de un punto o compactación de Alexandroff . Las ventajas de la compactación de Alexandroff residen en su estructura simple, a menudo geométricamente significativa, y en el hecho de que, en un sentido preciso, es mínima entre todas las compactaciones; la desventaja radica en el hecho de que solo proporciona una compactación de Hausdorff en la clase de espacios de Hausdorff localmente compactos y no compactos, a diferencia de la compactación de Stone-Čech que existe para cualquier espacio topológico , una clase de espacios mucho más grande.
Ejemplo: proyección estereográfica inversa
Un ejemplo geométricamente atractivo de compactificación de un punto lo da la proyección estereográfica inversa . Recuerde que la proyección estereográfica S da un homeomorfismo explícito desde la esfera unitaria menos el polo norte (0,0,1) hasta el plano euclidiano. La proyección estereográfica inversa es una incrustación abierta y densa en un espacio compacto de Hausdorff obtenido al unir el punto adicional . Bajo los círculos latitudinales de proyección estereográfica mapear a círculos planos . De ello se sigue que la base de vecindad eliminada de dado por los casquillos esféricos perforados corresponde a los complementos de discos planos cerrados . Más cualitativamente, una base de vecindario en está provisto por los conjuntos como K varía a través de los subconjuntos compactos de. Este ejemplo ya contiene los conceptos clave del caso general.
Motivación
Dejar ser una incrustación de un espacio topológico X a un espacio topológico compacto de Hausdorff Y , con una imagen densa y un resto de un punto. Entonces c ( X ) está abierto en un espacio compacto de Hausdorff, por lo que es localmente compacto Hausdorff, por lo tanto, su preimagen homeomórfica X también es localmente compacto Hausdorff. Además, si X fuera compacto, entonces c ( X ) estaría cerrado en Y y, por lo tanto, no sería denso. Por lo tanto, un espacio solo puede admitir una compactación de un punto de Hausdorff si es localmente compacto, no compacto y Hausdorff. Además, en tal compactificación de un punto, la imagen de una base de vecindad para x en X da una base de vecindad para c ( x ) en c ( X ), y porque un subconjunto de un espacio compacto de Hausdorff es compacto si y solo si está cerrado: los barrios abiertos de deben ser todos los conjuntos obtenidos adjuntando a la imagen bajo c de un subconjunto de X con complemento compacto.
La extensión de Alexandroff
Poner y topologizar tomando como conjuntos abiertos todos los subconjuntos abiertos U de X junto con todos los conjuntosdonde C está cerrada y compacta en X . Aquí,denota setminus . Tenga en cuenta que es un barrio abierto de , y por lo tanto, cualquier tapa abierta de contendrá todo excepto un subconjunto compacto de , lo que implica que es compacto ( Kelley 1975 , p. 150).
El mapa de inclusión se llama la extensión Alexandroff de X (Willard, 19A).
Todas las propiedades a continuación se derivan de la discusión anterior:
- El mapa c es continuo y abierto: incrusta X como un subconjunto abierto de.
- El espacio es compacto.
- La imagen c ( X ) es densa en, si X no es compacto.
- El espacio es Hausdorff si y solo si X es Hausdorff y localmente compacto .
- El espacio es T 1 si y solo si X es T 1 .
La compactación de un punto
En particular, la extensión Alexandroff es una compactificación de Hausdorff de X si y solo si X es Hausdorff, no compacto y localmente compacto. En este caso se llama la compactación de un punto o Alexandroff compactificación de X .
Recuerde de la discusión anterior que cualquier compactificación de Hausdorff con un punto restante es necesariamente (isomorfa a) la compactificación de Alexandroff. En particular, si es un espacio compacto de Hausdorff y es un punto límite de (es decir, no un punto aislado de ), es la compactación de Alexandroff de .
Sea X cualquier espacio de Tychonoff no compacto . Bajo el ordenamiento parcial natural en el set.de clases de equivalencia de compactaciones, cualquier elemento mínimo es equivalente a la extensión de Alexandroff (Engelking, Teorema 3.5.12). De ello se deduce que un espacio de Tychonoff no compacto admite una compactación mínima si y solo si es localmente compacto.
Compactaciones de un punto que no son de Hausdorff
Dejar ser un espacio topológico arbitrario no compacto. Uno puede querer determinar todas las compactaciones (no necesariamente de Hausdorff) deobtenidas añadiendo un solo punto, que también podrían denominarse compactaciones de un punto en este contexto. Entonces uno quiere determinar todas las formas posibles de dar una topología compacta tal que es denso en él y la topología del subespacio en inducido de es la misma que la topología original. La última condición de compatibilidad en la topología implica automáticamente que es denso en , porque no es compacto, por lo que no se puede cerrar en un espacio compacto. Además, es un hecho que el mapa de inclusiónes necesariamente una incrustación abierta , es decir, debe estar abierto en y la topología en debe contener todos los miembros de . [1] Entonces, la topología en está determinada por los barrios de . Cualquier barrio de es necesariamente el complemento en de un subconjunto compacto cerrado de , como se discutió anteriormente.
Las topologías en que lo convierten en una compactificación de son como sigue:
- La extensión de Alexandroff de definido anteriormente. Aquí tomamos los complementos de todos los subconjuntos compactos cerrados de como barrios de . Esta es la topología más grande que hace una compactación de un punto de .
- La topología de extensión abierta . Aquí agregamos un solo vecindario de, es decir, todo el espacio . Esta es la topología más pequeña que hace una compactación de un punto de .
- Cualquier topología intermedia entre las dos topologías anteriores. Para barrios de uno tiene que elegir una subfamilia adecuada de los complementos de todos los subconjuntos compactos cerrados de ; por ejemplo, los complementos de todos los subconjuntos compactos cerrados finitos, o los complementos de todos los subconjuntos compactos cerrados contables.
Más ejemplos
Compactificaciones de espacios discretos
- La compactificación de un punto del conjunto de números enteros positivos es homeomorfa al espacio que consta de K = {0} U {1 / n | n es un entero positivo} con la topología de orden.
- Una secuencia en un espacio topológico converge a un punto en , si y solo si el mapa dada por por en y es continuo. Aquítiene la topología discreta .
- Los espacios poliádicos se definen como espacios topológicos que son la imagen continua del poder de una compactación de un punto de un espacio discreto y localmente compacto de Hausdorff.
Compactificaciones de espacios continuos
- La compactificación de un punto del espacio euclidiano n- dimensional R n es homeomórfica a la n -esfera S n . Como anteriormente, el mapa se puede dar explícitamente como una proyección estereográfica inversa n- dimensional.
- La compactificación de un punto del producto de copias del intervalo semicerrado [0,1), es decir, de , es (homeomorfo a) .
- Dado que el cierre de un subconjunto conectado está conectado, la extensión Alexandroff de un espacio conectado no compacto está conectada. Sin embargo, una compactación de un punto puede "conectar" un espacio desconectado: por ejemplo, la compactación de un punto de la unión disjunta de un número finitode copias del intervalo (0,1) es una cuña decírculos .
- La compactificación de un punto de la unión disjunta de un número contable de copias del intervalo (0,1) es el pendiente hawaiano . Esto es diferente de la cuña de innumerables círculos, que no es compacta.
- Dado Hausdorff compacto y cualquier subconjunto cerrado de , la compactificación de un punto de es , donde la barra inclinada denota el espacio del cociente . [2]
- Si y son Hausdorff localmente compactos, entonces dónde es el producto estrella . Recuerde que la definición del producto smash: dónde es la suma de la cuña y, de nuevo, / denota el espacio del cociente. [2]
Como functor
La extensión de Alexandroff puede verse como un functor de la categoría de espacios topológicos con mapas continuos adecuados como morfismos a la categoría cuyos objetos son mapas continuos. y por el cual los morfismos de a son pares de mapas continuos tal que . En particular, los espacios homeomorfos tienen extensiones isomorfas de Alexandroff.
Ver también
- Compactación de Bohr
- Espacio compacto : nociones topológicas de que todos los puntos están "cercanos"
- Compactificación (matemáticas) : incrustación de un espacio topológico en un espacio compacto como un subconjunto denso
- Fin (topología)
- Recta numérica real extendida - Extensión de los reales por + ∞ y −∞.
- Espacio normal
- Conjunto puntiagudo
- Esfera de Riemann - Modelo del plano complejo extendido más un punto en el infinito
- Proyección estereográfica : mapeo particular que proyecta una esfera en un plano
- Compactación Stone – Čech
- Compactación de Wallman
Notas
- ^ https://math.stackexchange.com/questions/3817485/non-hausdorff-one-point-compactifications
- ^ a b Joseph J. Rotman , Introducción a la topología algebraica (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 (consulte el Capítulo 11 para obtener una prueba).
Referencias
- Alexandroff, Pavel S. (1924), "Über die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Räume" , Mathematische Annalen , 92 (3-4): 294-301, doi : 10.1007 / BF01448011 , JFM 50.0128.04
- Brown, Ronald (1973), "Mapas secuencialmente adecuados y compactación secuencial", Journal of the London Mathematical Society , Serie 2, 7 : 515-522, doi : 10.1112 / jlms / s2-7.3.515 , Zbl 0269.54015
- Engelking, Ryszard (1989), Topología general , Helderman Verlag Berlín , ISBN 978-0-201-08707-9, MR 1039321
- Fedorchuk, VV (2001) [1994], "Compactación de Aleksandrov" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Kelley, John L. (1975), Topología general , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90125-1, MR 0370454
- Munkres, James (1999), Topología (2.a ed.), Prentice Hall , ISBN 0-13-181629-2, Zbl 0951.54001
- Willard, Stephen (1970), topología general , Addison-Wesley , ISBN 3-88538-006-4, MR 0264581 , Zbl 0.205,26601