complejo de cadenas
En matemáticas , un complejo de cadenas es una estructura algebraica que consta de una secuencia de grupos abelianos (o módulos ) y una secuencia de homomorfismos entre grupos consecutivos de modo que la imagen de cada homomorfismo se incluye en el núcleo del siguiente. Asociada a un complejo de cadena está su homología , que describe cómo se incluyen las imágenes en los núcleos.
Un complejo de cocadena es similar a un complejo de cadena, excepto que sus homomorfismos están en la dirección opuesta. La homología de un complejo cocadena se denomina cohomología .
En la topología algebraica , el complejo de cadena singular de un espacio topológico X se construye utilizando mapas continuos de un simplex a X, y los homomorfismos del complejo de cadena capturan cómo estos mapas se restringen al límite del simplex. La homología de este complejo de cadenas se denomina homología singular de X y es una invariante de uso común de un espacio topológico.
Los complejos de cadenas se estudian en álgebra homológica , pero se utilizan en varias áreas de las matemáticas, incluida el álgebra abstracta , la teoría de Galois , la geometría diferencial y la geometría algebraica . Se pueden definir de forma más general en categorías abelianas .
Un complejo de cadena es una secuencia de grupos o módulos abelianos ..., A 0 , A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , ... conectados por homomorfismos (llamados operadores de frontera o diferenciales ) d n : A n → A n −1 , tal que la composición de dos mapas consecutivos cualesquiera es el mapa cero. Explícitamente, los diferenciales satisfacen d n ∘ d n +1 = 0 , o con índices suprimidos,re 2 = 0 . El complejo se puede escribir de la siguiente manera.
El complejo cochain es la noción dual de un complejo de cadena. Consiste en una secuencia de grupos o módulos abelianos ..., A 0 , A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , ... conectados por homomorfismos d n : A n → A n +1 que satisfacen d n +1 ∘ re norte = 0 . El complejo cocadena puede escribirse de manera similar al complejo cadena.
