Tensor codazzi

En el campo matemático de la geometría diferencial , un tensor Codazzi (llamado así por Delfino Codazzi ) es un 2-tensor simétrico cuya derivada covariante también es simétrica. Tales tensores surgen naturalmente en el estudio de variedades de Riemann con armónica curvatura o armónico tensor de Weyl . De hecho, la existencia de tensores Codazzi impone condiciones estrictas sobre el tensor de curvatura de la variedad. Además, la segunda forma fundamental de una hipersuperficie sumergida en una forma espacial (en relación con una elección local de campo normal) es un tensor de Codazzi.

Sea una variedad riemanniana n-dimensional para , sea un campo tensorial simétrico de 2 , y sea la conexión Levi-Civita . Decimos que el tensor es un tensor de Codazzi si ${\ Displaystyle (M, g)}$ ${\ Displaystyle n \ geq 3}$ ${\ Displaystyle T}$ ${\ Displaystyle \ nabla}$ ${\ Displaystyle T}$

para todos ${\ Displaystyle X, Y, Z \ in T_ {p} M.}$

Matsushima y Tanno demostraron que, en una variedad de Kähler, cualquier tensor de Codazzi que sea hermitiano es paralelo. Berger demostró que, en una variedad compacta de curvatura seccional no negativa, cualquier tensor de Codazzi $h$ con $tr g h$ constante debe ser paralelo. Además, en una variedad compacta de curvatura seccional no negativa, si la curvatura seccional es estrictamente positiva al menos en un punto, entonces cada 2-tensor paralelo simétrico es un múltiplo constante de la métrica.