En un experimento mental propuesto por el probabilista italiano Bruno de Finetti para justificar la probabilidad bayesiana , un conjunto de apuestas es coherente precisamente si no expone al apostador a una pérdida determinada independientemente de los resultados de los eventos en los que está apostando, incluso si su oponente toma las decisiones más juiciosas.
Probabilidades subjetivas operativas como probabilidades de apuesta
Uno debe fijar el precio de una promesa de pagar $ 1 si John Smith gana las elecciones de mañana y $ 0 en caso contrario. Uno sabe que su oponente podrá elegir entre comprarle tal promesa al precio que se haya fijado, o exigirle a uno que le compre tal promesa, todavía al mismo precio. En otras palabras: el jugador A establece las probabilidades, pero el jugador B decide qué lado de la apuesta tomar. El precio que se fija es la "probabilidad subjetiva operativa" que se asigna a la proposición por la que se está apostando.
Si se decide que John Smith tiene un 12,5% de probabilidades de ganar (una valoración arbitraria), se podría establecer una probabilidad de 7: 1 en contra. Esta valoración arbitraria, la "probabilidad subjetiva operativa", determina la recompensa de una apuesta exitosa. $ 1 apostado con estas probabilidades producirá una pérdida de $ 1 (si Smith pierde) o una ganancia de $ 7 (si Smith gana). Si el $ 1 se pone en prenda como condición de la apuesta, entonces el $ 1 también se devolverá al apostador, en caso de que el apostador gane la apuesta.
Libros holandeses
Se dice que una persona que ha fijado precios en una serie de apuestas, de tal manera que obtendrá una ganancia neta independientemente del resultado, ha hecho un libro holandés . Cuando uno tiene un libro en holandés, el oponente siempre pierde. Una persona que fija los precios de una manera que le da a su oponente un libro holandés no se está comportando de manera racional. Entonces, los siguientes argumentos del libro holandés muestran que los agentes racionales deben tener probabilidades subjetivas que sigan las leyes comunes de la probabilidad.
Un libro holandés muy trivial
Las reglas no prohíben un precio fijo superior a $ 1, pero un oponente prudente puede venderle un boleto de alto precio, de modo que el oponente salga adelante independientemente del resultado del evento en el que se realiza la apuesta. Las reglas tampoco prohíben un precio negativo, pero un oponente puede obtener una promesa pagada del apostador de pagarle más tarde en caso de que surja una cierta contingencia. En cualquier caso, el que fija el precio pierde. Estas situaciones de perder-perder son paralelas al hecho de que una probabilidad no puede exceder 1 (certeza) ni ser menor que 0 (ninguna posibilidad de ganar).
Un libro holandés más instructivo
Ahora suponga que se fija el precio de una promesa de pagar $ 1 si los Boston Red Sox ganan la Serie Mundial del próximo año, y también el precio de una promesa de pagar $ 1 si los New York Yankees ganan, y finalmente el precio de una promesa de pagar $ 1. Si cualquiera de los Medias rojas o los Yankees a ganar. Se pueden fijar los precios de tal manera que
Pero si uno fija el precio del tercer boleto por debajo de la suma de los dos primeros, un oponente prudente comprará ese boleto y venderá los otros dos boletos al que fija el precio. Al considerar los tres resultados posibles (Medias Rojas, Yankees, algún otro equipo), uno notará que independientemente de cuál de los tres resultados suceda, uno perderá. Un destino análogo aguarda si se fija el precio del tercer billete por encima de la suma de los otros dos precios. Esto es paralelo al hecho de que las probabilidades de eventos mutuamente excluyentes son aditivas (ver axiomas de probabilidad ).
Apuestas condicionales y probabilidades condicionales
Ahora imagina un escenario más complicado. Hay que fijar los precios de tres promesas:
- pagar $ 1 si los Medias Rojas ganan el juego de mañana: el comprador de esta promesa pierde su apuesta si los Medias Rojas no ganan, independientemente de si su fracaso se debe a la pérdida de un juego completo o la cancelación del juego, y
- pagar $ 1 si los Medias Rojas ganan, y reembolsar el precio de la promesa si se cancela el juego, y
- pagar $ 1 si el juego se completa, independientemente de quién gane.
Son posibles tres resultados: el juego se cancela; el juego se juega y los Medias Rojas pierden; el juego se juega y los Medias Rojas ganan. Se pueden fijar los precios de tal manera que
(donde el segundo precio anterior es el de la apuesta que incluye el reembolso en caso de cancelación). (Nota: Los precios aquí son los números adimensionales obtenidos al dividir por $ 1, que es el pago en los tres casos). Un oponente prudente escribe tres desigualdades lineales en tres variables. Las variables son las cantidades que invertirán en cada una de las tres promesas; el valor de uno de estos es negativo si hacen que el que fija el precio compre esa promesa y positivo si lo compran. Cada desigualdad corresponde a uno de los tres posibles resultados. Cada desigualdad establece que la ganancia neta de tu oponente es más que cero. Existe una solución si el determinante de la matriz no es cero. Ese determinante es:
Por lo tanto, un oponente prudente puede convertir al que fija el precio en un perdedor seguro a menos que uno fije los precios de una manera que se asemeje a la caracterización convencional más simple de la probabilidad condicional .
Otro ejemplo
En la carrera de 2015 del Derby de Kentucky , el favorito ("American Pharaoh") se estableció ante-post en 5: 2, el segundo favorito en 3: 1 y el tercer favorito en 8: 1. Todos los demás caballos tenían probabilidades en contra de 12: 1 o más. Con estas probabilidades, una apuesta de $ 10 en cada uno de los 18 titulares resultaría en una pérdida neta si ganara el favorito o el segundo favorito.
Sin embargo, si uno asume que ningún caballo cotizado 12: 1 o más ganará, y uno apuesta $ 10 en cada uno de los tres primeros, se le garantiza al menos una pequeña ganancia. El favorito (que ganó) daría como resultado un pago de $ 25, más la apuesta devuelta de $ 10, dando un saldo final de $ 35 (un aumento neto de $ 5). Una victoria del segundo favorito produciría un pago de $ 30 más la apuesta original de $ 10, para un aumento neto de $ 10. Una victoria del tercer favorito da $ 80 más los $ 10 originales, para un aumento neto de $ 60.
Este tipo de estrategia, en lo que respecta solo a los tres primeros, forma un libro holandés. Sin embargo, si se tienen en cuenta los dieciocho contendientes, no existe ningún libro holandés para esta carrera.
Coherencia
Se puede demostrar que el conjunto de precios es coherente cuando satisfacen los axiomas de probabilidad y resultados relacionados como el principio de inclusión-exclusión (pero no necesariamente aditividad contable).
Ver también
- Concepto análogo libre de arbitraje en finanzas matemáticas
- Epistemología bayesiana
- Dividir y elegir : un procedimiento para cortar pasteles sin envidias entre dos socios
Referencias
- Muchacho, Frank (1996). Métodos estadísticos subjetivos operacionales: una introducción matemática, filosófica e histórica . Nueva York: Wiley . ISBN 0-471-14329-4.