En la teoría de la representación matemática , la coherencia es una propiedad de los conjuntos de caracteres que permite extender una isometría desde el subespacio de grado cero de un espacio de caracteres a todo el espacio. La noción general de coherencia fue desarrollada por Feit ( 1960 , 1962 ), como una generalización de la prueba de Frobenius de la existencia de un núcleo de Frobenius de un grupo de Frobenius y del trabajo de Brauer y Suzuki sobre personajes excepcionales . Feit y Thompson (1963 , Capítulo 3) desarrollaron aún más la coherencia en la demostración del teorema de Feit-Thompson de que todoslos grupos de orden impar se pueden resolver.
Supongamos que H es un subgrupo de un grupo finito G , y S un conjunto de caracteres irreducibles de H . Escriba I ( S ) para el conjunto de combinaciones lineales integrales de S , e I 0 ( S ) para el subconjunto de elementos de grado 0 de I ( S ). Supongamos que τ es una isometría de I 0 ( S ) para el grado 0 personajes virtuales de G . Entonces τ se llama coherente si puede extenderse a una isometría de I ( S) a los caracteres de G e I 0 ( S ) no es cero. Aunque estrictamente hablando la coherencia es realmente una propiedad de la isometría τ, es común decir que el conjunto S es coherente en lugar de decir que τ es coherente.
Feit demostró varios teoremas que dan condiciones bajo las cuales un conjunto de caracteres es coherente. Uno típico es el siguiente. Suponga que H es un subgrupo de un grupo G con normalizador N , tal que N es un grupo de Frobenius con núcleo H , y sean S los caracteres irreducibles de N que no tienen H en su núcleo. Supongamos que τ es una isometría lineal de I 0 ( S ) en los grados 0 personajes de G . Entonces τ es coherente a menos que
Si G es el grupo simple SL 2 ( F 2 n ) para n > 1 y H es un subgrupo Sylow 2, con inducción τ, entonces la coherencia falla por la primera razón: H es abeliano elemental y N / H tiene orden 2 n –1 y actúa simplemente de forma transitiva sobre él.
Si G es el grupo Suzuki simple de orden (2 n –1) 2 2 n (2 2 n +1) con n impar yn > 1 y H es el subgrupo Sylow 2 y τ es inducción, entonces la coherencia falla para el segunda razón. La abelianización de H tiene orden 2 n , mientras que el grupo N / H tiene orden 2 n –1.
En la demostración de la teoría de Frobenius sobre la existencia de un núcleo de un grupo G de Frobenius donde el subgrupo H es el subgrupo que fija un punto y S es el conjunto de todos los caracteres irreducibles de H , la isometría τ en I 0 ( S ) es solo inducción, aunque su extensión a I ( S ) no es inducción.