En matemáticas , más específicamente en teoría de grupos , el carácter de una representación de grupo es una función sobre el grupo que asocia a cada elemento del grupo la traza de la matriz correspondiente. El personaje lleva la información esencial sobre la representación en una forma más condensada. Georg Frobenius desarrolló inicialmente la teoría de la representación de grupos finitostotalmente basado en los personajes, y sin ninguna realización matricial explícita de las representaciones mismas. Esto es posible porque una representación compleja de un grupo finito está determinada (hasta el isomorfismo) por su carácter. La situación con las representaciones sobre un campo de características positivas , las llamadas "representaciones modulares", es más delicada, pero Richard Brauer desarrolló una poderosa teoría de los personajes también en este caso. Muchos teoremas profundos sobre la estructura de grupos finitos utilizan caracteres de representaciones modulares .
Aplicaciones
Los caracteres de representaciones irreductibles codifican muchas propiedades importantes de un grupo y, por lo tanto, pueden usarse para estudiar su estructura. La teoría de caracteres es una herramienta esencial en la clasificación de grupos simples finitos . Cerca de la mitad de la demostración del teorema de Feit-Thompson implica cálculos intrincados con valores de caracteres. Más fácil, pero sigue siendo esencial, los resultados de esa teoría el uso de caracteres incluyen el teorema de Burnside (una prueba puramente grupo de teoría del teorema de Burnside desde entonces ha sido encontrado, pero que la prueba llegó más de medio siglo después de la prueba original de Burnside), y un teorema de Richard Brauer y Michio Suzuki indica que un número finito simple grupo no puede tener un generalizado grupo de cuaterniones como su Sylow 2 -subgroup .
Definiciones
Deje que V sea una dimensión finita espacio vectorial sobre un campo F y dejar que ρ : G → GL ( V ) sea una representación de un grupo G en V . El carácter de ρ es la función χ ρ : G → F dada por
donde Tr es el rastro .
Un carácter χ ρ se llama irreducible o simple si ρ es una representación irreducible . El grado del carácter χ es la dimensión de ρ ; en la característica cero es igual al valor χ (1) . Un carácter de grado 1 se llama lineal . Cuando G es finito y F tiene característica cero, el núcleo del carácter χ ρ es el subgrupo normal:
que es precisamente el núcleo de la representación ρ . Sin embargo, el personaje no es un homomorfismo de grupo en general.
Propiedades
- Los caracteres son funciones de clase , es decir, cada uno toma un valor constante en una clase de conjugación dada . Más precisamente, el conjunto de caracteres irreducibles de un grupo dado G en un campo K forman una base de la K espacio-vector de todas las funciones de clase G → K .
- Las representaciones isomorfas tienen los mismos caracteres. Sobre un campo algebraicamente cerrado de característica 0 , las representaciones semisimples son isomorfas si y solo si tienen el mismo carácter.
- Si una representación es la suma directa de subrepresentaciones, entonces el carácter correspondiente es la suma de los caracteres de esas subrepresentaciones.
- Si un carácter del grupo finito G se limita a un subgrupo H , entonces el resultado es también un carácter de H .
- Cada valor de carácter χ ( g ) es una suma de n m -ésimos raíces de la unidad , donde n es el grado (es decir, la dimensión del espacio vectorial asociada) de la representación con carácter χ y m es el orden de g . En particular, cuando F = C , cada valor de carácter es un entero algebraico .
- Si F = C , y χ es irreducible, entonces
- es un número entero algebraico para todos x en G .
- Si F es algebraicamente cerrado y char ( F ) no divide el orden de G , entonces el número de caracteres irreducibles de G es igual al número de clases de conjugación de G . Además, en este caso, los grados de los caracteres irreductibles son divisores del orden de G (e incluso dividen [ G : Z ( G )] si F = C ).
Propiedades aritméticas
Dejar que ρ y sigma ser representaciones de G . Entonces se mantienen las siguientes identidades:
donde ρ ⊕ σ es la suma directa , ρ ⊗ σ es el producto tensorial , ρ ∗ denota la transpuesta conjugada de ρ , y Alt 2 es el producto alterno Alt 2 ρ = ρ ∧ ρ y Sym 2 es el cuadrado simétrico , que es determinado por
- .
Tablas de caracteres
Los caracteres complejos irreductibles de un grupo finito forman una tabla de caracteres que codifica mucha información útil sobre el grupo G en una forma compacta. Cada fila está marcado por una representación irreducible y las entradas de la fila son los caracteres de la representación en la respectiva clase de conjugación de G . Las columnas se etiquetan por (representantes de) las clases de conjugación de G . Es costumbre etiquetar la primera fila por el carácter de la representación trivial , que es la acción trivial de G en un espacio vectorial unidimensional por para todos . Cada entrada en la primera fila es por lo tanto 1. De manera similar, se acostumbra etiquetar la primera columna por la identidad. Por tanto, la primera columna contiene el grado de cada carácter irreducible.
Aquí está la tabla de caracteres de
el grupo cíclico con tres elementos y generador u:
(1) | ( u ) | ( u 2 ) | |
1 | 1 | 1 | 1 |
χ 1 | 1 | ω | ω 2 |
χ 2 | 1 | ω 2 | ω |
donde ω es una tercera raíz primitiva de la unidad.
La tabla de caracteres siempre es cuadrada, porque el número de representaciones irreducibles es igual al número de clases de conjugación. [1]
Relaciones de ortogonalidad
El espacio de funciones de clase de valor complejo de un grupo finito G tiene un producto interno natural:
donde β ( g ) es el complejo conjugado de β ( g ) . Con respecto a este producto interno, los caracteres irreducibles forman una base ortonormal para el espacio de funciones de clase, y esto produce la relación de ortogonalidad para las filas de la tabla de caracteres:
Para g , h en G , aplicando el mismo producto interno a las columnas de la tabla de caracteres se obtiene:
donde la suma está sobre todos los caracteres irreducibles χ i de G y el símbolo | C G ( g ) | denota el orden del centralizador de g . Tenga en cuenta que dado que g y h son conjugados si están en la misma columna de la tabla de caracteres, esto implica que las columnas de la tabla de caracteres son ortogonales.
Las relaciones de ortogonalidad pueden ayudar a muchos cálculos, incluidos:
- Descomponer un personaje desconocido como una combinación lineal de caracteres irreductibles.
- Construir la tabla de caracteres completa cuando solo se conocen algunos de los caracteres irreducibles.
- Encontrar los órdenes de los centralizadores de representantes de las clases de conjugación de un grupo.
- Encontrar el orden del grupo.
Propiedades de la tabla de caracteres
Algunas propiedades del grupo G se pueden deducir de su tabla de caracteres:
- El orden de G viene dado por la suma de los cuadrados de las entradas de la primera columna (los grados de los caracteres irreducibles). (Ver Teoría de representación de grupos finitos # Aplicación del lema de Schur .) De manera más general, la suma de los cuadrados de los valores absolutos de las entradas en cualquier columna da el orden del centralizador de un elemento de la clase de conjugación correspondiente.
- Todos los subgrupos normales de G (y por lo tanto si G es simple o no ) se pueden reconocer en su tabla de caracteres. El núcleo de un carácter χ es el conjunto de elementos g en G para los cuales χ ( g ) = χ (1) ; este es un subgrupo normal de G . Cada subgrupo normal de G es la intersección de los núcleos de algunos de los caracteres irreducibles de G .
- El grupo de los conmutadores de G es la intersección de los granos de los personajes lineales de G .
- Si G es finito, dado que la tabla de caracteres es cuadrada y tiene tantas filas como clases de conjugación, se deduce que G es abeliana si cada clase de conjugación es un singleton si la tabla de caracteres de G es si cada carácter irreducible es lineal.
- De ello se deduce, utilizando algunos resultados de Richard Brauer de la teoría de la representación modular , que los divisores primos de los órdenes de los elementos de cada clase de conjugación de un grupo finito pueden deducirse de su tabla de caracteres (una observación de Graham Higman ).
La tabla de caracteres no determina en general el grupo hasta el isomorfismo : por ejemplo, el grupo de cuaterniones Q y el grupo diedro de 8 elementos, D 4 , tienen la misma tabla de caracteres. Brauer preguntó si la tabla de caracteres, junto con el conocimiento de cómo se distribuyen los poderes de los elementos de sus clases de conjugación, determina un grupo finito hasta el isomorfismo. En 1964, EC Dade respondió negativamente .
Las representaciones lineales de G son en sí mismas un grupo bajo el producto tensorial , ya que el producto tensorial de los espacios vectoriales unidimensionales es nuevamente unidimensional. Es decir, si y son representaciones lineales, entonces define una nueva representación lineal. Esto da lugar a un grupo de caracteres lineales, llamado grupo de caracteres bajo la operación. Este grupo está relacionado con los caracteres de Dirichlet y el análisis de Fourier .
Caracteres inducidos y reciprocidad de Frobenius
Se supone que los caracteres discutidos en esta sección tienen valores complejos. Deje H un subgrupo del grupo finito G . Dado un carácter χ de G , y mucho χ H denotan su restricción a H . Vamos θ ser un personaje de H . Ferdinand Georg Frobenius mostró cómo construir un carácter de G a partir de θ , usando lo que ahora se conoce como reciprocidad de Frobenius . Dado que los caracteres irreductibles de G forman una base ortonormal para el espacio de funciones de clase de valor complejo de G , existe una función de clase única θ G de G con la propiedad de que
para cada carácter irreducible χ de G (el producto interno más a la izquierda es para funciones de clase de G y el producto interno más a la derecha es para funciones de clase de H ). Dado que la restricción de un carácter de G al subgrupo H es de nuevo un carácter de H , esta definición deja claro que θ G es una combinación entero no negativo de caracteres irreducibles de G , por lo que es de hecho un carácter de G . Se conoce como el carácter de G inducido a partir de θ . La fórmula definitoria de la reciprocidad de Frobenius puede extenderse a funciones generales de clase de valores complejos.
Dada una representación de la matriz ρ de H , Frobenius dio más adelante de manera explícita para construir una representación matricial de G , conocida como la representación inducida de ρ , y se escribe de forma análoga como ρ G . Esto condujo a una descripción alternativa del carácter inducida θ G . Este carácter inducida anula en todos los elementos de G que no son conjugado a cualquier elemento de H . Desde el carácter inducido es una función de la clase de G , sólo es ahora necesario describir sus valores en los elementos de H . Si uno escribe G como una unión disjunta de clases laterales derechas de H , digamos
entonces, dado un elemento h de H , tenemos:
Dado que θ es una función de clase de H , este valor no depende de la elección particular de los representantes de clases laterales.
Esta descripción alternativa del carácter inducido a veces permite el cálculo explícito a partir de relativamente poca información sobre la incrustación de H en G , y suele ser útil para el cálculo de tablas de caracteres particulares. Cuando θ es el carácter trivial de H , el carácter inducido obtenido se conoce como carácter de permutación de G (en las clases laterales de H ).
La técnica general de inducción del carácter y los refinamientos posteriores encontraron numerosas aplicaciones en la teoría de grupos finitos y en otras partes de las matemáticas, en manos de matemáticos como Emil Artin , Richard Brauer , Walter Feit y Michio Suzuki , así como del propio Frobenius.
Descomposición de Mackey
La descomposición de Mackey fue definida y explorada por George Mackey en el contexto de los grupos de Lie , pero es una herramienta poderosa en la teoría del carácter y la teoría de la representación de grupos finitos. Su forma básica se refiere a la forma en que un carácter (o módulo) inducido a partir de un subgrupo H de un grupo finito G se comporta en la restricción a un subgrupo (posiblemente diferente) K de G , y hace uso de la descomposición de G en ( H , K ) -dobles laterales.
Si
es una unión disjunta, y θ es una función de clase compleja de H , entonces la fórmula de Mackey establece que
donde θ t es la función de la clase de t -1 Ht definido por θ t ( t -1 ht ) = θ ( h ) para todos h en H . Existe una fórmula similar para la restricción de un módulo inducido a un subgrupo, que se aplica a las representaciones sobre cualquier anillo y tiene aplicaciones en una amplia variedad de contextos algebraicos y topológicos.
La descomposición de Mackey, junto con la reciprocidad de Frobenius, produce una fórmula bien conocida y útil para el producto interno de dos funciones de clase θ y ψ inducidas de los respectivos subgrupos H y K , cuya utilidad radica en el hecho de que solo depende de cómo se conjugan de H y K se cruzan. La fórmula (con su derivación) es:
(donde T es un conjunto completo de representantes de clases laterales dobles ( H , K ) , como antes). Esta fórmula se usa a menudo cuando θ y ψ son caracteres lineales, en cuyo caso todos los productos internos que aparecen en la suma de la derecha son 1 o 0 , dependiendo de si los caracteres lineales θ t y ψ tienen la misma restricción at -1 Ht ∩ K . Si θ y ψ son caracteres triviales, entonces el producto interno se simplifica a | T | .
Dimensión "retorcida"
Se puede interpretar el carácter de una representación como la dimensión "retorcida" de un espacio vectorial . [2] Tratando el carácter como una función de los elementos del grupo χ ( g ) , su valor en la identidad es la dimensión del espacio, ya que χ (1) = Tr ( ρ (1)) = Tr ( I V ) = tenue ( V ) . En consecuencia, uno puede ver los otros valores del personaje como dimensiones "retorcidas". [ aclaración necesaria ]
Se pueden encontrar análogos o generalizaciones de declaraciones sobre dimensiones a declaraciones sobre personajes o representaciones. Un ejemplo sofisticado de esto ocurre en la teoría de la luz de la luna monstruosa : la j -invariante es la dimensión escalonada de una representación escalonada de dimensión infinita del grupo de Monstruos , y al reemplazar la dimensión con el carácter se obtiene la serie de McKay-Thompson para cada elemento de el grupo Monster. [2]
Caracteres de grupos de Lie y álgebras de Lie
Si es un grupo de mentiras y una representación de dimensión finita de , el personaje de se define precisamente como para cualquier grupo como
- .
Mientras tanto, si es un álgebra de mentira y una representación de dimensión finita de , podemos definir el personaje por
- .
El personaje satisfará para todos en el grupo de Lie asociado y todo . Si tenemos una representación de grupo de Lie y una representación de álgebra de Lie asociada, el carácter de la representación del álgebra de Lie está relacionada con el carácter de la representación del grupo por la fórmula
- .
Supongamos ahora que es un álgebra de Lie semisimple compleja con subálgebra de Cartan . El valor del personaje de una representación irreductible de está determinada por sus valores en . La restricción del personaje ase puede calcular fácilmente en términos de espacios de peso , de la siguiente manera:
- ,
donde la suma supera todos los pesos de y donde es la multiplicidad de . [3]
La (restricción a del carácter) se puede calcular de forma más explícita mediante la fórmula del carácter de Weyl.
Ver también
- Representación irreducible § Aplicaciones en física y química teóricas
- Esquemas de asociación , una generalización combinatoria de la teoría del carácter grupal.
- Teoría Clifford , introducido por AH Clifford en 1937, da información sobre la restricción de un carácter irreducible complejo de un grupo finito G a un subgrupo normal N .
- Fórmula de Frobenius
- Elemento real , un elemento de grupo g tal que χ ( g ) es un número real para todos los caracteres χ
Referencias
- ↑ Serre, §2.5
- ↑ a b ( Gannon, 2006 )
- ^ Salón 2015 Proposición 10.12
- Conferencia 2 de Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer plato . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. 129 . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Señor 1153249 . OCLC 246650103 . en línea
- Gannon, Terry (2006). Moonshine más allá del monstruo: el puente que conecta el álgebra, las formas modulares y la física . ISBN 978-0-521-83531-2.
- Hall, Brian C. (2015), grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
- Isaacs, IM (1994). Character Theory of Finite Groups (Reimpresión corregida del original de 1976, publicado por Academic Press. Ed.). Dover. ISBN 978-0-486-68014-9.
- James, Gordon; Liebeck, Martin (2001). Representaciones y personajes de grupos (2ª ed.) . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-00392-6.
- Serre, Jean-Pierre (1977). Representaciones lineales de grupos finitos . Textos de Posgrado en Matemáticas. 42 . Traducido de la segunda edición francesa por Leonard L. Scott. Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4684-9458-7 . ISBN 978-0-387-90190-9. Señor 0450380 .
enlaces externos
- Personaje en PlanetMath .