En matemáticas , un grupo de Frobenius es un grupo de permutación transitiva en un conjunto finito , de modo que ningún elemento no trivial fija más de un punto y algún elemento no trivial fija un punto. Llevan el nombre de FG Frobenius .
Estructura
Un subgrupo H de un grupo G de Frobenius que fija un punto del conjunto X se denomina complemento de Frobenius . El elemento de identidad junto con todos los elementos que no están en ningún conjugado de H forman un subgrupo normal llamado el núcleo K de Frobenius . (Este es un teorema debido a Frobenius (1901) ; todavía no hay prueba de este teorema que no use la teoría de caracteres , aunque ver [1] .) El grupo G de Frobenius es el producto semidirecto de K y H :
- .
Tanto el núcleo de Frobenius como el complemento de Frobenius tienen estructuras muy restringidas. JG Thompson ( 1960 ) demostró que el núcleo K de Frobenius es un grupo nilpotente . Si H tiene orden par, K es abeliano. El complemento de Frobenius H tiene la propiedad de que todo subgrupo cuyo orden es el producto de 2 primos es cíclico; esto implica que sus subgrupos de Sylow son grupos de cuaterniones cíclicos o generalizados . Cualquier grupo en el que todos los subgrupos de Sylow sean cíclicos se denomina grupo Z y , en particular, debe ser un grupo metacíclico : esto significa que es la extensión de dos grupos cíclicos. Si un complemento H de Frobenius no se puede resolver, entonces Zassenhaus mostró que tiene un subgrupo normal de índice 1 o 2 que es el producto de SL (2,5) y un grupo metacíclico de orden coprime a 30. En particular, si un complemento de Frobenius coincide con su subgrupo derivado, entonces es isomorfo con SL (2,5). Si un complemento H de Frobenius se puede resolver, entonces tiene un subgrupo metacíclico normal de modo que el cociente es un subgrupo del grupo simétrico en 4 puntos. Un grupo finito es un complemento de Frobenius si y solo si tiene una representación fiel de dimensión finita sobre un campo finito en el que los elementos del grupo sin identidad corresponden a transformaciones lineales sin puntos fijos distintos de cero.
El núcleo de Frobenius K está determinado de forma única por G ya que es el subgrupo de ajuste , y el complemento de Frobenius está determinado de forma única hasta la conjugación por el teorema de Schur-Zassenhaus . En particular, un grupo finito G es un grupo de Frobenius como mucho en una forma.
Ejemplos de
- El ejemplo más pequeño es el grupo simétrico de 3 puntos, con 6 elementos. El núcleo de Frobenius K tiene orden 3 y el complemento H tiene orden 2.
- Para cada campo finito F q con q (> 2) elementos, el grupo de transformaciones afines invertibles , actuando naturalmente en F q es un grupo Frobenius. El ejemplo anterior corresponde al caso F 3 , el campo con tres elementos.
- Otro ejemplo lo proporciona el subgrupo de orden 21 del grupo de colineación del plano Fano generado por una simetría triple σ que fija un punto y una permutación cíclica τ de los 7 puntos, satisfaciendo στ = τ 2 σ. Identificando F 8 × con el plano de Fano, σ puede tomarse como la restricción del automorfismo de Frobenius σ ( x ) = x 2 de F 8 y τ como la multiplicación por cualquier elemento que no sea 0 o 1 (es decir, un generador del ciclo cíclico grupo multiplicativo de F 8 ). Este grupo de Frobenius actúa simplemente de forma transitiva sobre las 21 banderas del plano de Fano, es decir, líneas con puntos marcados.
- El grupo diedro de orden 2 n con n impar es un grupo de Frobenius con complemento de orden 2. Más generalmente, si K es cualquier grupo abeliano de orden impar y H tiene orden 2 y actúa sobre K por inversión, entonces el producto semidirecto K.H es un Grupo Frobenius.
- Se pueden generar muchos ejemplos adicionales mediante las siguientes construcciones. Si reemplazamos el complemento de Frobenius de un grupo de Frobenius por un subgrupo no trivial, obtenemos otro grupo de Frobenius. Si tenemos dos grupos de Frobenius K 1 . H y K 2 . H luego ( K 1 × K 2 ). H también es un grupo de Frobenius.
- Si K es el grupo no abeliano de orden 7 3 con exponente 7, y H es el grupo cíclico de orden 3, a continuación, hay un grupo de Frobenius G que es una extensión KH de H por K . Esto da un ejemplo de un grupo de Frobenius con kernel no abeliano. Este fue el primer ejemplo del grupo Frobenius con kernel no beliano (fue construido por Otto Schmidt).
- Si H es el grupo SL 2 ( F 5 ) de orden 120, actúa libremente como punto fijo en un espacio vectorial bidimensional K sobre el campo con 11 elementos. La extensión KH es el ejemplo más pequeño de un grupo de Frobenius sin solución .
- El subgrupo de un grupo de Zassenhaus que fija un punto es un grupo de Frobenius.
- Los grupos de Frobenius cuyo subgrupo de ajuste tiene una clase de nilpotencia arbitrariamente grande fueron construidos por Ito: Sea q una potencia prima, d un entero positivo yp un divisor primo de q −1 con d ≤ p . Fije algún campo F de orden q y algún elemento z de este campo de orden p . El complemento de Frobenius H es el subgrupo cíclico generado por la matriz diagonal cuya i, i ' ésima entrada es z i . El núcleo de Frobenius K es el subgrupo q de Sylow de GL ( d , q ) que consta de matrices triangulares superiores con unas en la diagonal. El núcleo K tiene una clase de potencia nula d -1, y el producto semidirecto KH es un grupo de Frobenius.
Teoría de la representación
Las representaciones complejos irreducibles de un Frobenius grupo G pueden ser leídos fuera de los de H y K . Hay dos tipos de representaciones irreductibles de G :
- Cualquier representación irreducible R de H da una representación irreducible de G usando el mapa de cocientes de G a H (es decir, como una representación restringida ). Estos dan las representaciones irreductibles de G con K en su núcleo.
- Si S es una representación irreducible no trivial de K , entonces la representación inducida correspondiente de G también es irreducible. Estos dan las representaciones irreductibles de G con K no en su núcleo.
Definiciones alternativas
Hay una serie de propiedades teóricas de grupo que son interesantes por sí mismas, pero que resultan ser equivalentes al grupo que posee una representación de permutación que lo convierte en un grupo de Frobenius.
- G es un grupo Frobenius si y sólo si G tiene una adecuada, no identidad subgrupo H tal que H ∩ H g es el subgrupo de identidad para cada g ∈ G - H , es decir, H es un subgrupo malnormal de G .
Esta definición se generaliza luego al estudio de conjuntos de intersecciones triviales que permitieron extender los resultados de los grupos de Frobenius usados en la clasificación de los grupos CA a los resultados de los grupos CN y finalmente al teorema del orden impar .
Asumiendo que es el producto semidirecto del subgrupo normal K y el complemento H , entonces las siguientes restricciones sobre los centralizadores son equivalentes a que G sea un grupo de Frobenius con complemento de Frobenius H :
- El centralizador C G ( k ) es un subgrupo de K para cada no identidad k en K .
- C H ( k ) = 1 para cada no identidad k en K .
- C G ( h ) ≤ H para cada no identidad h en H.
Referencias
- ^ Terence Tao sobre el teorema de Frobenius
- Frobenius, G. (1901), "Über auflösbare Gruppen. IV.", Berl. Ber. (en alemán): 1216–1230, doi : 10.3931 / e-rara-18836 , JFM 32.0137.01
- B. Huppert, Endliche Gruppen I , Springer 1967
- IM Isaacs, Teoría del carácter de grupos finitos , AMS Chelsea 1976
- DS Passman, grupos de permutación , Benjamin 1968
- Thompson, John G. (1960), "P-complementos normales para grupos finitos", Mathematische Zeitschrift , 72 : 332–354, doi : 10.1007 / BF01162958 , ISSN 0025-5874 , MR 0117289