En geometría diferencial , la desigualdad de Cohn-Vossen , llamada así por Stefan Cohn-Vossen , relaciona la integral de la curvatura gaussiana de una superficie no compacta con la característica de Euler . Es similar al teorema de Gauss-Bonnet para una superficie compacta .
Un camino divergente dentro de una variedad de Riemann es una curva suave en la variedad que no está contenida dentro de ningún subconjunto compacto de la variedad. Una variedad completa es aquella en la que cada camino divergente tiene una longitud infinita con respecto a la métrica de Riemann en la variedad. La desigualdad de Cohn-Vossen establece que en cada Riemanniano completo de 2 variedades S con curvatura total finita y característica de Euler finita, tenemos [1]
donde K es la curvatura gaussiana, dA es el elemento de área y χ es la característica de Euler.
Ejemplos de
- Si S es una superficie compacta (sin límite), entonces la desigualdad es una igualdad según el teorema habitual de Gauss-Bonnet para variedades compactas.
- Si S tiene un límite, entonces el teorema de Gauss-Bonnet da
- dónde es la curvatura geodésica del límite, y su integral la curvatura total que es necesariamente positiva para una curva de límite, y la desigualdad es estricta. (Un resultado similar se cumple cuando el límite de S es uniforme por partes).
- Si S es el plano R 2 , entonces la curvatura de S es cero y χ ( S ) = 1, por lo que la desigualdad es estricta: 0 <2 π .
notas y referencias
- ↑ Robert Osserman, A Survey of Minimal Surfaces , Publicaciones de Courier Dover, 2002, página 86.
- SE Cohn-Vossen, Algunos problemas de geometría diferencial en las grandes , Moscú (1959) (en ruso)
enlaces externos
- Teorema de Gauss-Bonnet, en la Encyclopedia of Mathematics , que incluye una breve descripción de la desigualdad de Cohn-Vossen